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初中数学竞赛辅导资料(25)

发布时间:2014-05-25 15:04:45  

初中数学竞赛辅导资料(25) 十进制的记数法

甲内容提要

1. 十进制的记数法就是用0,1,2…9十个数码记数的方法,位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂,恰好是十进制数的各个位数: 100=1(个位数—第1位), 101=10(十位上的数---第2位), 102=100(百位上的数---第3位),…10n(第n+1位上的数) 例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100

2. 十进制的n位数(n为正整数),a1a2a3?ann 记作:

10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an

其中最高位a1≠0,即0<a1≤9,其它是0≤a1,a2,a3…an≤9

3. 各位上的数字相同的正整数记法:

n例如∵999=1000-1=103-1,9999=104-1,∴999=10-1 ?9?????

n个9

10n?110n?1510n?1,333,555 111?1=?5=?3=???????????939n个1n个5n个3

4 解答有关十进制数的问题,常遇到所列方程,少于未知数的个数,这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数,这一性质进行讨论。 乙例题

例1. 一个六位数的最高位是1,若把1移作个位数,其余各数的大小和

顺序都不变,则所得的新六位数恰好是原数的3倍,求原六位数。 解:设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105+x ,新六位数为10x+1,

根据题意,得 10x+1=3(1×105+x) 7x=299999 x=42857 ∴原六位数是142857

例2. 设n为正整数,计算999?9×999?9+1999?9 ???????????????

n个9

??n个9n个9解:原数=(10n –1)×(10n –1)+1×10n+10n-1

=102n-2×10n+1+10n+10n-1

=102n

例3. 试证明12,1122,111222,……,11?122?2这些数都是两个相??????

n个1n个2

邻的正整数的积

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证明:12=3×4, 1122=33×34,111222=333×334

103-1103-1注意到333×334=333×(333+1)=×(+1) 33

由经验归纳法,得

n10n?1n210?1×10+ 11?122?2=??????99n个1n个2??

10n?110n2=(+) 333

10n?110n?1=(?1) 33

上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积

例4. 试证明:任何一个四位正整数,如果四个数字和是9的倍数,那么

这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数,也有同样的结论。

证明:设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得

a+b+c+d=9k (k为正整数),∴d=9k-a -b-c,代入原四位数,得 103a+102b+10c+9k-a -b-c=(103-1)a+(102-1)b+9c+9k

=9(111a+11b+c+k)

∵111a+11b+c+k是整数,

∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除

-推广到n位正整数: n位正整数记作10n1a1+10n-2a2+…+10an-1+an(1)

∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)

∴an=9k-a1-a2-…-an-1 代入(1)得

-原数=10n1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k-a1-a2-…-an-1

=(10n-1-1)a1+(10n-2-1)a2+…+9an-1+9k

∵10n-1-1,10n-2-1,…10-1分别表示99?9,99?9,…9 ???????n?1?个9?n?2?个9

∴原数=9(11?1a1+11?1a2+…+an+k) ??????

n?1n?2

∴这个n位正整数必能被9整除

例5. 已知:有一个三位数除以11,其商是这个三位数的三个数字和。 求:这个三位数。

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解:设这个三位数为102a+10b+c 其中0<a≤9, 0≤b,c≤9

100a?10b?ca?b?c=9a+b+且-8 ≤a-b+c≤18 1111

∵它能被11整除,∴a-b+c只能是11或0。

① 当a-b+c=11时,商是9a+b+1,

根据题意得9a+b+1=a+b+c,c=8a+1 a只能是1,c=9,

b=a+c-11=-1不合题意

② 当a-b+c=0时,商是9a+b

, 9a+b= a+b+c且a-b+c=11

解得 ?a?1??b?9 答这个数是198

?c?8?

例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大2,将这个数的各位数字的顺

序颠倒过来,再加上原数,其和是8877,求这个正整数。

解:∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, ∴可知它们都是四位数

设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,

根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案

a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17 +) (c-2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位)

8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1)

从十位上看b+c=7或17

从百位上看c+b=8 (进入千位)

可知 c+b=17 (2)

(2)+(1)得 b-a=8

∵0<a≤9 0≤b≤9 ∴ b=9

∴a=1, c-2=6 答这个正整数是1986

丙练习25

1. 设a是个两位数,b是三位数。当a接在b的左边时,这个五位数应记

作_____,当a接在b 的右边时,这个五位数应记作_____。

2. 有大小两个两位数。大数的2倍与小 数的3倍的和是72。在大数的右

边写上一个0再接着写小 数,得到第一个五位数;在小 数的右边写上大数再接着写个0,得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个五位数得商2,余数590。求这两个两位数。

3. 计算:1987×19861986-1986 ×19871987

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4. 一个22位数,个位数字是7,当用7去乘这个22位数时,其积也是22

位数,并且恰好是将这个数的个位数字7移到最高位,其余各数的大小和顺序都不变。求原22位数。

5. 试证明:11-2, 1111-22, 11?1-22?2,各数都能写成某个??????

2n个1n个2

正整数的平方。(即证明各数都是完全平方数)

6. 一个两位数的两个数字对调后,所得新两位数与原两位数的比是4∶7。

求符合条件的所有两位数。

7. 已知一个六位数乘以6,仍是六位数,且有abcdef×6=defabc 求原六位数abcdef

8. 已知四位数abcd除以9得四位数dcba,求原四位数。

9. 一个五位正奇数x,将x中的所有2都 换成5,并把所有5都换成2,

其余各数不变,得一个新五位正奇数,记作y ,若x,y I满足等式: y=2(x+1),那么x=________(1987年全国初中数学联赛题)

10. 已知存在正整数n能使数111?11被1987整除, ?????

n个1

求证:p=111?11999?99888?88777?77能被1987整除 ????????????????????

n个1n个9n个8n个7

(1987年全国初中数学联赛题)

11. 一个三位数被11整除,其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符

合条件的所有三位数。(1988年全国初中数学联赛题)

12. 一个三位数,它的十位上数字比百位上数字小2,而个位数比百位上数

字的算术平方根大7。求这个三位数。

13. 求证:111?11是一个合数。 ?????

1990个1

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