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初中数学竞赛辅导资料(40)

发布时间:2014-05-25 15:04:45  

初中数学竞赛辅导资料(40)

线段、角的和差倍分

甲内容提要

证明线段、角的和,差,倍,分,常用两种方法:一是转化为证明线段或角的相等关系;一是用代数恒等式的证明方法。

一. 转化为证明相等的一般方法

㈠通过作图转化

1. 要证明一线段(角)等于两线段(角)的和(用截长补短法) ⑴分解法――把大量分成两部分,证它们分别等于两个小量 ⑵合成法――作出两个小量的和,证它与大量相等

2. 要证明一线段(角)等于另一线段(角)的2倍 ⑴折半法――作出大量的一半,证它与小量相等 ⑵加倍法――作出小量的2倍,证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化

1. 三角形中位线等于第三边的一半,梯形中位线等于两底和的一半

2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半

3. 直角三角形中,含30度的角所对的直角边等于斜边的一半

4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍

6. 三角形的重心(各中线的交点)分中线为2∶1

7. 有关比例线段定理

二. 用代数恒等式的证明

1. 由左证到右或由右证到左

2. 左右两边分别化简为同一个第三式

3. 证明左边减去右边的差为零

4. 由已知的等式出发,通过恒等变形,到达求证的结论 乙例题

例1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高

求证:DC=AB+BD

分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。 可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。 ∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C 辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。

分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。 仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。

为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得 134

∠ABD=2∠F=2∠C。

A

DBBDFC

例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于O,垂足是M,N

求证:AH=2MO, BH=2NO 证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍) 连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG 则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO

∴四边形AGBH是平行四边形, ∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO

证明二:(折半法――作出AH,BH

分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN

1则FG=MN=AB,FG∥MN∥AB 2又∵OM∥AD, ∴∠OMN

=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)

同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……

例3. 已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F是AB的中点

求证:∠

DCE=2∠BCF

分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。

我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。

辅助线如图,证明(略)自己完成

G

135

例4.已知:△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于I,

求证:∠BIC=90+?1∠A 2

?证明一:(由左到右) ∠BIC=180-(∠1+∠2)=180-1(∠ABC+∠ACB) 2

11?=180-(∠ABC+∠ACB+∠A)+∠A 22

1?=90+∠A

2?

证明二:(左边-右边=0) 1? ∠BIC-(90+∠A) 2

11?(∠ABC+∠ACB)-90-∠A 22

1?=90-(∠ABC+∠ACB+∠A)=…… 2=180-? 证明三:(从已知的等式出发,进行恒等变形)

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180 ∴∠A=180-(∠ABC+∠ACB) ??

11?∠A=90-(∠ABC+∠ACB) 22

111???90+∠A=180-(∠ABC+∠ACB),即∠BIC=90+∠A 222

丙练习40

1. △ABC中,∠B=2∠C,AD是角平分线,求证:AC=AB+BD

2. △ABC中,∠B=2∠C,AD是高,M是BC的中点,则AB=2DM

3. △ABC中,∠B的平分线和∠C的外角平分线交于E,则∠A=2∠E

4. △ABC的AB=AC,CD是中线,延长AB到E使BE=AB,连结EC,

则CE=2CD

5. 已知:等腰直角三角形ABC中,∠A=Rt∠,BD是角平分线

求证:BC=AB+AD

6. 已知:△ABC中,AB<AC,AD是高,AE是角平分线

求证 :∠DAE=1(∠B+∠C) 2

7. 已知:△ABC中,AB=AC,点D在AC的延长线上,

求证:∠CBD=

1(∠ABD-∠D) 2136

8. 已知:AD是△ABC的中线,E是AD的中点,BE延长线交AC于F

求证:BF=4EF

9. 已知:在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,AF平分∠DAE,交

CD于F

求证:AE=BE+DF

10. 在△ABC中,∠BAC=Rt∠,BC的中垂线MN交AB于M,交BC于

N,角平分线AD延长线交MN于E,则BC=2NE

(1987年泉州市双基赛题)

11. 以Rt△ABC两直角边AC,BC为边向形外作正方形ACDE和BCFG,

,,,,分别过E,G作斜边AB所在直线的垂线段EE,GG则AB=EE+GG

12. 已知:△ABC中,AB=AC,AD是高,CE是角平分线EF⊥BC于F,

GE⊥CE交CB延长线于G,

求证:FD=1CG (提示:以CE为轴作△CEG的对称三角形) 4

?13. 已知:△ABC中,∠A=100,AB=AC,BD是角平分线

求证:BC=BD+AD

14. 已知:正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于E,交BD于F,O

是对角线的交点

求证:CE=2FO

15. 已知:如图AC,BD都垂直于AB,且CD交AB于E,CE=2AD

求证:∠ADE=2∠BDE

16. 已知:△ABC中,AB<AC<BC,点D在BC上,点E在BA的延长

线上,且BD=BE=AC,△BDE的外接圆和△ABC的外接圆交于点F 求证:BF=AF+FC (1991年全国初中数学联赛题)

(提示:在BF上取BG=CF)

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