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初中数学竞赛辅导资料(20)

发布时间:2014-05-25 15:04:46  

初中数学竞赛辅导资料(20)

代数恒等式的证明

甲内容提要

证明代数恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形,要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。 具体证法一般有如下几种

1.从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。

2.把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式。

3.证明:左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边-右边=0可得左边=右边。

4,由己知等式出发,经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边,

乙例题

例1求证:3-2+2×5+3-2=10(5+3-2) 证明:左边=2×5×5 n+1+(3 n+2+3 n)+(-2 n+2 -2 n) =10×5 n+1+3 n(32+1)-2 n-1(23+2)

=10(5 n+1+3 n-2 n-1)=右边

又证:左边=2×5 n+2+3 n(32+1)-2 n(22+1)

=2×5 n+2+10×3 n-5×2 n

右边=10×5 n+1+10×3 n-10×2 n-1

=2×5 n+2+10×3 n-5×2 n

∴左边=右边

例2 己知:a+b+c=0 求证:a3+b3+c3=3abc

证明:∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)(见19例1) ∵:a+b+c=0

∴a3+b3+c3-3abc=0 即a3+b3+c3=3abc

又证:∵:a+b+c=0 ∴a=-(b+c)

两边立方 a3=-(b3+3b2c+3bc2+c3)

移项 a3+b3+c3=-3bc(b+c)=3abc

再证:由己知 a=-b-c 代入左边,得

(-b-c)3+ b3+c3=-(b3+3b2c+3bc2+c 3)+b3+c3 =-3bc(b+c)=-3bc(-a)=3abc n+2 n+2 n+2 n n n+1 n n-1

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例3 己知a+

证明:由己知a-b=

1b

?b?

1c1b

?c?

1a

,a≠b≠c 求证:a2b2c2=1

1c

??

b?cbc

∴bc=

c?a

b?ca?b

a?bc?a

b-c=

1a

?

1c

?

c?a

∴ab bc ca=

2

cab?ca?bb?cc?ac?aa?bb?c

∴ca= 同理ab=

=1 即a2b2c2=1

例4 己知:ax+bx+c是一个完全平方式(a,b,c是常数)求证:b2-4ac=0 证明:设:ax2+bx+c=(mx+n)2 , m,n是常数

那么:ax2+bx+c=m2x2+2mnx+n2

?a?m2?2222

根据恒等式的性质 得?b?2mn ∴: b-4ac=(2mn)-4mn=0

?2?c?n

丙练习20

1. 求证: ①(a+b+c)2+(a+b-c)2-(a-b-c)2-(a-b-c)2=8ab

②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3-(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n-a2 n+1)(a2 n+a n+1) 2.己知:a2+b2=2ab 求证:a=b 3.己知:a+b+c=0

求证:①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2 4.己知:a=a+1 求证:a=5a+3

5.己知:x+y-z=0 求证: x3+8y3=z3-6xyz 6.己知:a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证:a=b=c

7.己知:a∶b=b∶c 求证:(a+b+c)+a+b+c=2(a+b+c)(a+c) 8.己知:abc≠0,ab+bc=2ac 求证:9.己知:

xa?b

?

yb?c

?

zc?a

1a?1b?1b?1c

2

2

2

2

2

5

求证:x+y+z=0

10.求证:(2x-3)(2x+1)(x2-1)+1是一个完全平方式 11己知:ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证:ad=bc

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