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初中数学竞赛辅导资料(18)

发布时间:2014-05-25 15:04:46  

初中数学竞赛辅导资料(18)

式的整除

甲内容提要

1. 定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这个整式被另一个整式整除。

2. 根据被除式=除式×商式+余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式, 那么 式的整除的意义可以表示为:

若f(x)=p(x)×q(x), 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除

例如∵x2-3x-4=(x-4)(x +1),

∴x2-3x-4能被(x-4)和(x +1)整除。

显然当 x=4或x=-1时x2-3x-4=0,

3. 一般地,若整式f(x)含有x –a的因式,则f(a)=0

反过来也成立,若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。

4. 在二次三项式中

若x+px+q=(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab

在恒等式中,左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 乙例题

例1己知 x2-5x+m能被x-2整除,求m 的值。 x-3

解法一:列竖式做除法 (如右) x-2x-5x+m

由 余式m-6=0 得m=6 x2-2x 解法二:∵ x2-5x+m 含有x-2 的因式 -3x+m ∴ 以x=2代入 x2-5x+m 得 -3x+6

222 2-5×2 +m=0 得m=6 m-6

解法三:设x2-5x+m 除以x-2 的商是x+a (a为待定系数) 那么 x2-5x+m=(x+a)(x-2)= x2+(a-2)x-2a

根据左右两边同类项的系数相等,得

?a?2??5?a??3 解得 (本题解法叫待定系数法) ????2a?m?m?6

例2 己知:x4-5x3+11x2+mx+n能被x2-2x+1整除

求:m、n 的值及商式

解:∵被除式=除式×商式 (整除时余式为0)

∴商式可设为x+ax+b

得x-5x+11x+mx+n=(x-2x+1)(x+ax+b)

=x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b 432222

48

根据恒等式中,左右两边同类项的系数相等,得

?a?2??5?a??3

???b?1?2a?11?b?n ? 解得?

?a?2b?m?m??11

?1b?n?n?4??

∴m=-11, n=4, 商式是x2-3x+4

例3 m取什么值时,x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除? 解:当 x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时,它含有x+y+z 因式 令x+y+z=0,得x=-(y+z),代入原式其值必为0

即[-(y+z)]3+y3+z3-myz(y+z)=0

把左边因式分解,得 -yz(y+z)(m+3)=0,

∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立

∴当x,y(或y,z或x,z)互为相反数时,m可取任何值 ,

当m=-3时,x,y,z不论取什么值,原式都能被x+y+z整除。

例4 分解因式x3-x+6

分析:为获得一次因式,可用x=±1,±2,±3,±6(常数项6的约数)代入原式求值,只有x=-2时值为0,可知有因式x+2,(以下可仿例1) 解:x3-x+6=(x+2)(x2-2x+3)

丙练习18

1. 若x3+2x2+mx+10=x3+nx2-4x+10, 则m=___, n=___

2. x3-4x2+3x+32除以x+2的余式是___,

x4-x2+1除以x2-x-2的余式是___

3. 己知x3+mx+4能被x+1整除,求m

4. 己知x+ax+bx-16含有两个因式x-1和x –2,求a和b的值

5. 己知13x3+mx2+11x+n能被13x2-6x+5整除,求m、n及商式

6. 己知ab≠0,m取什么值时,a3-6a2b+mab2-8b3有因式a-2b.

7. 分解因式:①x-7x+6, ②x-3x+4, ③x-10x-3

8.选择题

(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)

(c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)

②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数),对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是( )

(A) p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.

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49 332343① x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是( )

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