haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

初中数学竞赛辅导资料(39)

发布时间:2014-05-25 15:04:48  

初中数学竞赛辅导资料(39)

线段、角的相等关系

甲内容提要

证明线段、角的相等,在直线形中,最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形,若没有现成的,则要引辅助线,构造全等三角形或等腰三角形。 构造全等三角形,要充分利用已知条件中的对应相等关系,添引辅助线要有利于增加对应相等的元素,要注意总结辅助线的规律,观察两个三角形全等时的一般位置特点(如翻转、旋转、平移等)

一. 证明两条线段相等常用的定理

1. 在同一个三角形中,证明等角对等边。

2. 在两个三角形中,证明全等。

3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理

4.运用比例式证明相等:若x

a?y

a 则x=y;若x

y?y

x则x=y

5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中,证明等边对等角。

2. 在两个三角形中,证明全等或相似。

3.在平行线图形中

① 用平行四边形的对角相等

② 行线的同位角相等,内错角相等

③ 边分别互相平行(或垂直)的两个锐角(或两个钝角)相等 ④ 角(或等角)的余角(或补角)相等

⑤ 用等量代换、等式性质

乙例题

例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形” 已知:梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠B

求证:AD=BC

下面提供三种基本证法:

1. 把BC、AD集中到同一个三角形,证它等腰三角形。 辅助线是:过点D作DE∥BC,我们称它为“平移” ∵BCDE是平行四边形,可证△DAE为等腰三角形

2. 以BC、AD为对应边,构造两个全等三角形,为增加对应相等的元素,辅助线为:作两条高CM和DN,根据夹在平行线间的平行线段相等, 130

可用角角边证全等。

3. 由∠A=∠B,可造等腰三角形,运用比例式性质证明,辅助线是:分

别延长AD和BC交于P。 P

C C

A E B A N M B A

B 例2.已知:在梯形ABCD中,AB∥CD,AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P

求证:PO平分AB 证明:设PO延长线交AB于E,交CD于F

∵AB∥CD ∴

DFAE

PF

①×②得

PEBE

DF?CFAE

2

CF

?

CF

AECF?DFBE

2

COAO

DFBE

② E

∴AE2=BE2

∵AE>0,BE>0

∴AE=BE,即PO平分AB 例3.已知:△ABC中,AC=3AB,AF是∠A的平分线,

过点C作CD⊥AF,D是垂足 求证:AD被BC平分

证明:以AD为轴作△ADC的对称三角形ADE B

那么DE=DC,AE=AC=3AB,BE=2AB G 取BE的中点G,连结DG E C 则DG∥BC,∵AB=BG D ∴AF=FD,即AD被BC平分

例4.已知:在△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM,

和CAN,P是边BC的中点

求证:PM=PN (1991年泉州市初二数学双基赛题)

证明:取AB中点Q,AC中点R

连结PQ,PR,MQ,NR PQ∥AC,PQ=

12

AC=NR

PR∥AB,PR=MQ

∠PQM=∠PRN(两边分别垂直) ∴△PQM≌△NRP, PM=PN

例5.已知:四边形ABCD中AD=BC,E,F分别是AB、CD的中点,

延长AD,BC和EF的延长线分别交于G,H 求证:∠AGE=∠BHE

131

证明:连结AC,取AC的中点P,连结PE,

∵PE是△ABC的中位线, ∴PE∥BC,PE=

12

BC,

12

同理PF∥AD,PF=AD

∴∠PEF=∠BHE,∠PFE=∠AGE ∵AD=BC,∴

PE=PF,∠PEF=∠PFE ∴ ∠AGE=∠BHE

A

例6.已知:△ABC中,∠A=Rt∠,点O是正方形BCDE对角线的交点 求证:AO

是∠A的平分线

证明:过点O作OF⊥OA交AC的延长线于F

E

B

∵∠ABC,∠FCO都是∠ACO的补角

∴ ∠ABC=∠FCO

∵∠AOB,∠FOC都是∠AOC的余角

∴ ∠AOB=∠FOC 又∵OB=OC ∴△ABO≌△FCO

∴AO=FO, ∠F=∠OAF=45? ∴ AO是∠A的平分线

(△FCO是△ABC绕点旋转90?后的位置) 又证: ∵∠BAC+∠BOC=180?

∴A,B,O,C四点共圆,

过ABOC四点作辅助圆,在这个圆中 ∵弦OB=弦OC ∴弧OB=弧OC

∴圆周角BAO=∠OAC

即 AO是∠A的平分线 丙练习39

1. 在等边△ABC的边AB,BC,CA上分别截取AD=BE=CF,连结AE,BF,CD它们两两相交于P,Q,R,则△PQR也是等边三角形 2. 已知:如图AB=AC,AD=AE

求证:AF平分∠BAC

3. 如图P,Q,R是等边三角形ABC三边的中点,M是BC上的任意点,

以PM为一边作等边三角形PMN,则RN=QM

132

4. 如图△ABD,△BCE都是等边三角形,ADEF是平行四边形,则△CAF

也是等边三角形

CBQMCBCF5. 四边形ABCD中,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,求证:EF

和AC,BD相交所成的两个锐角相等

6. 锐角三角形ABC中,以AB,AC为边作两个正方形ABDE,ACFG,

高AH的延长线交EG于M,求证:①ME=MG,②AM=1

2BC

7. △ABC的∠C=Rt∠,∠A=30?,以AB,AC为边向形外作等边三角

形ABD,ACE,求证 DE被AB平分

8. 等腰直角三角形ABC中,∠A=Rt∠,BE是中线,AD⊥BE交BC于

D,交BE于F,求证:∠AEB=∠DEC

9. 等腰直角三角形ABC中,∠A=Rt∠,AD∥BC,且BD=BC,设BD

和AC相交于E,求证CD=CE

10. △ABC中,AD是高,若AB+DC=AC+BD,则AB=AC

11. D,E分别在等边三角形ABC的边BA,BC的延长线上,AD=BE求证

DC=DE

12. 正方形ABCD中,E,F分别在BC,CD上且∠EAF=45?,AH是

△ AEF的高,求证 AH=AB

13. 梯形ABCD中,AB∥CD,MN∥AB交AD于M,交BC于N交AC

于E,交BD于F则ME=NF

14. 正方形ABCD中,E,F是AB延长线上的两个点,BE=BC,BF=BD,

DF交BC于G,交CE于H求证:CH=CB,HG=HF

返回目录 参考答案

133

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com