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初中数学竞赛辅导资料(32)

发布时间:2014-05-25 15:04:49  

初中数学竞赛辅导资料(32)

中位线

甲内容提要

1. 三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论,兼有位置和大小关系,可以用它判定平行,计算线段的长度,确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点,找到三角形或梯形,包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理,常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论,

①一组平行线在一直线上截得相等线段,在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线,必平分第三边

③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线,必平分另一腰

5. 有关线段中点的其他定理还有:

①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高,顶角平分线互相重合

③对角线互相平分的四边形是平行四边形

④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等

因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

乙例题

例1. 已知:△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM

和CAN,P是BC的中点。求证:PM=PN

(1991年泉州市初二数学双基赛题)

证明:作ME⊥AB,NF⊥AC,垂足E,F ∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形

∴AE=EB=ME,AF=FC=NF,

根据三角形中位线性质

PE=1

2AC=NF,PF=1

2AB=ME P

PE∥AC,PF∥AB ∴∠PEB=∠BAC=∠PFC 即∠PEM=∠PFN

∴△PEM≌△PFN ∴PM=PN

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例2.已知△ABC中,AB=10,AC=7,AD是角平分线,CM⊥AD于M,且N是BC的中点。求MN的长。

分析:N是BC的中点,若M是另一边中点,

则可运用中位线的性质求MN的长, 根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可。 辅助线是:延长CM交AB于E(证明略) N 例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底,且等于两底差的一半。 已知:梯形ABCD中,AB∥CD,M、N分别是AC、BD的中点 求证:MN∥AB∥CD,MN=

12

(AB-CD)

分析一:∵M是AC中点,构造一个三角形,使N为另一边中点,以便运

用中位线的性质。

∴连结CN并延长交AB于E(如图1)证△BNE≌△DNC可得N是CE的中点。(证明略)

分析二:图2与图1思路一样。

分析三:直接选择△ABC,取BC中点P连结MP和NP,证明M,N,P三点在同一直线上,方法也是运用中位线的性质。

例4. 如图已知:△ABC中,AD是角平分线,BE=CF,M、N分别是

BC和EF的中点 求证:MN∥AD 证明一:连结EC,取EC的中点P,连结PM、PN MP∥AB,MP=

12

AB,NP∥AC,NP=

12

AC

∵BE=CF,∴MP=NP ∴∠3=∠4=

180

?

-?MPN2

?

M

C

∠MPN+∠BAC=180(两边分平行的两个角相等或互补)

180

?

∴∠1=∠2=

-?MPN2

, ∠2=∠3

∴NP∥AC ∴MN∥AD

104

证明二:连结并延长EM到G,使MG=ME连结CG,FG

则MN∥FG,△MCG≌△MBE

∴CG=BE=CF ∠B=∠BCG

∴AB∥CG,∠BAC+∠FCG=180? ∠CAD=∠CFG=

1212

(180?-∠FCG)

(180?-∠FCG)=∠CAD ∴ MN∥AD

例5.

已知:△ABC中,AB=AC,AD是高,CE是角平分线,EF⊥BC

于F,GE⊥CE交CB的延长线于G

求证:FD=

14

CG

证明要点是:延长GE交AC于H, 可证E是GH的中点 G

D

过点E作EM∥GC交HC于M, 则M是HC的中点,EM∥GC,EM=由矩形EFDO可得FD=EO=

12

12

14

GC GC

EM=

丙练习32 1.已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点 则①四边形EFGH是_____形 ②当AC=BD时,四边形EFGH是___形 ③当AC⊥BD时,四边形EFGH是__形 ④当AC和BD________时,四边形EFGH是正方形形。 2.求证:梯形两底中点连线小于两边和的一半。

3.已知AD是锐角三角形ABC的高,E,F,G分别是边BC,CA,AB的中

点,证明顺次连结E,F,G,H 所成的四边形是等腰梯形。

4. 已知:经过△ABC顶点A任作一直线a,过B,C两点作直线a的垂线段

BB,和CC,,设M是BC的中点,

求证:MB=MC

5.如图已知△ABC中,AD=BE,DM∥EN∥BC 求证BC=DM+EN

105

6.如图已知:从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段AE,

BF,CG,DH。

求证AE+CG=BF+DH

7.如图已知D是AB的中点,F是DE的中点,

求证BC=2CE

a EC

8.平行四边形ABCD中,M,N分别是BC、CD的中点,求证AC平分MN

9.已知△ABC中,D是边BC上的任一点,M,N,P,Q分别是BC,AD,

AC,MN的中点,求证直线PQ平分BD。

10.等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点O是AC和BD的交点,

∠AOB=60?,P,Q,R分别是AO,BC,DO的中点,求证△PQR是等边

三角形。

B SMDCB11.已知:△ABC中,AD是高,AE是中线,且AD,AE三等分∠BAC,

求证:△ABC是Rt△。

12.已知:在锐角三角形ABC中,高AD和中线BE相交于O,

∠BOD=60?,求证AD=BE 13.如图 已知:四边形ABCD中,AD=BC, 点E、F分别是AB、CD的中点,MN⊥EF 求证:∠DMN=∠CNM E N

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