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初中数学竞赛辅导资料(33)

发布时间:2014-05-25 15:04:50  

初中数学竞赛辅导资料(33)

同一法

甲内容提要

1. “同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理,当一个命题不易证明时,釆取证明它的逆命题。

2. 同一法则的定义是:如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时,那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。

互逆两个命题一般是不等价的。例如

原命题:福建是中国的一个省 (真命题)

逆命题:中国的一个省是福建 (假命题)

但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时,则它们是等效的。例如 原命题:中国的首都是北京 (真命题)

逆命题:北京是中国的首都 (真命题)

因为世界上只有一个中国,而且中国只有一个首都,所以互逆的两个命题是等效的。又如

原命题:等腰三角形顶角平分线是底边上的高。(真命题) 逆命题:等腰三角形底边上的高是顶角平分线。(真命题)

因为在等腰三角形这一前提下,顶角平分线和底边上的高都是唯一的,所以互逆的两个命题是等效的。

3. 釆用同一法证明的步骤:如果一个命题直接证明有困难,而它与逆命题符合同一法则,则可釆用同一法,证明它的逆命题,其步骤是: ① 作出符合命题结论的图形(即假设命题的结论成立)

② 证明这一图形与命题题设相同(即证明它符合原题设) 乙例题

例1. 求证三角形的三条中线相交于一点

已知:△ABC中,AD,BE,CF都是中线

求证:AD,BE,CF相交于同一点

分析:在证明AD和BE相交于点G之后,本应再证明CF经过点G,这要证明三点共线,直接证明不易,我们釆用同一法:连结并延长CG交AB,,,,于F,证明CF就是第三条中线(即证明AF=FB)

证明:∵∠DAB+∠EBA<180

?

∴AD和BE相交,设交点为G , 连结并延长CG交AB于F

,连结DE交CF于M

∵DE∥AB 107

∴MEMDCMBF?MD==, 即= AF?BF?CF?AF?MEMEMDMGAF?MD==, 即= BF?MEBF?AF?GF?BF?AF?,,,=, ∴AF=BF,AF是BC边上的中线, AF?BF?

,∵BC边上的中线只有一条, ∴AF和AD是同一条中线

∴AD,BE,CF相交于一点G。

例2.已知:△ABC中,D在BC上,AB2-AC2=BD2-DC2

求证:AD是△ABC的高

分析:从题设AB2-AC2=BD2-DC2证明结论不易,因为BC边上的

高是唯一的,所以拟用同一法,先作出AE⊥BC,证明在题设的条件下AE

就是AD。

证明:作AE⊥BC交BC于E A 根据勾股定理

AB2-AC2

=(AE2+BE2)-(AE2+EC2)

=BE2-EC2

∵AB2-AC2=BD2-DC2 B E D C ∴BD2-DC2 =BE2-EC2 (BD+DC)(BD-DC)=(BE+EC)(BE-EC)

∴BD-DC=BE-EC ①

BD+DC=BE+EC ②

①+②:2BD=2BE

即点D和点E重合,即AD 是△ABC的高

例3如图已知:四边形ABCD中,∠ABD=∠ADB=15 ∠CBD=45,∠CDB=30 ???求证:△ABC是等边三角形 证明:在BC或延长线上取点E,使BE=AB 连结AE,DE,则△ABEAE=AB=AD,∠EAD=150-60=90,∴∠ADE=45

∵∠ADC=45,且DE,DC在DA的同一侧,

∴DE和DC重合,它们与BC边的交点E,C也重合

∴△ABC是等边三角形

108 ?????

例4.求证:2??2?=1 分析:直接证法,一般是把左边写成(2??2?5)再化简为1,

但没有成功。拟用同一法,可认为要证明的 原命题是:有两个数2?3,2?,它们积是-1,则它们的和是1

5,v=2?5 那么逆命题是:若u+v=1,且uv=-1,则u=2?证明:设 u+v=1,且uv=-1,根据韦达定理的逆定理(初三教材)

得u,v是方程x2-x-1=0 的两个根

x=1?51?51?5,即u,v分别等于, 222

而u3=(1?531?53)=2+, v3=()=2- 22

5,v=2?5 ∴u=2?即2??2?=1

例5.已知:ACD是圆的割线,点B在圆上,且AB2=AC×AD

求证:AB是圆的切线

1 证明:过点B作圆的切线,交DC于A1,

则∠CBA1=∠D

由已知AB2=AC×AD,则ACAD=,∠A ABAC

∴△ACB∽△ABD ∴∠CBA=∠D, B

∠CBA1=∠CBA ∴BA和BA1重合,它们与DC的交点是同一个点

即AB是圆的切线。

例6.以△ABC的三个顶点为圆心,作三个圆两两外切,切点分别是D,E,

F,那么过D,E,F的圆是△ABC的内切圆。

分析:用同一法证明,作出△ABC的内切圆,再证明三个切点和

D,E,F重合

109

证明:作△ABC的内切圆和AB,BC,CA分别切于D,E,F

根据 切线长定理,得

AD=AF=,,,,,c?b?aa?c?ba?b?c,,,,,BE=BD=,CF=CE= 222

设⊙A,⊙B,⊙C半径长分别为x,y,z

?x?y?cc?b?aa?c?ba?b?c?,y=,z= ?y?z?a,解得,x=222?z?x?b?

,,,∴AD=AD,BE=BE,CF=CF

,,,即D与D, E与E , F与F重合。 ∴△ABC的内切圆和各边切于D,E,F 即过D,E,F的圆是△ABC的内切圆。 丙练习33 1. 用同一法证明:

① 三角形的中位线平行于第三边

② 梯形中位线平行于两底

2. 已知E是正方形ABCD内的一点,∠EAB=∠EBA=15

求证△ECD是等边三角形

3. 已知△ABC中,AB=AC,∠A=36,在AC上取点D,使AD=BC ??

4.

5.

6.

7. 求证BD是∠ABC的平分线 如果梯形的一条腰等于两底和,那么夹这条腰的两个角的平分线的交点,必是另一腰中点 △ABC中,∠ C=Rt∠,AC=BC,点D在AC上,且CD=AB-BC 求证BD平分∠ABC 正方形ABCD中,M,N分别是CD,BC的中点,DE⊥AM于E,求证点N在DE的延长线上 已知:四边形ABCD中,E,F和GH分别三等分AB和CD,

M和N分别是BC,AD中点, N D

求证: A ① MN平分EH和FG E H ② MN被EH,FG三等分 F G

B M C

110

8.已知:矩形ABCD中,AB=2BC,点E在CD上,且∠CBE=15

求证:AE=AB

9.已知:AD是四边形ABCD外接圆O的直径,∠ABC=120∠ACB=45 ???

点P在CB的延长线上,且PB=2BC

求证:PA是⊙O的切线

10.已知:H是△ABC的垂心(三条高的交点),过H,B,C三点作⊙O,

延长△ABC的中线AM交⊙O于D

求证:AM=MD

P

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