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初中数学竞赛辅导资料(41)

发布时间:2014-05-25 15:04:51  

初中数学竞赛辅导资料(41)

线段的比、积、幂

甲内容提要

一.有关线段的比、积、幂的主要定理 1. 比例的基本性质:

ac

??ad?bc 合比,等比定理(略) bd

2.

E

D

C

DE∥BC?

ADAE

?

DBEC

BCOB?AB

???AB

?1

1B1C1

OB1

a∥b? ?OA?OB

??OA1OB1CBA3. 相似多边形性质:对应线段成比例,面积比等于相似比的平方

4. 直角三角形中成比例线段定理(射影定理)

?CD2=AD?BD?

?ACB=Rt???AC2=AD?AB

???2

CD?AB??BC=BD?

AB

B?

AB?CD=AC?BC

?

5. 三角形内(外)角平分线性质

在△ABC中 ∠1=∠2?

BDAB

? DCAC

D

6. 若ABCD四点共圆,

AB、CD交于P, B则PA×PB=PC×PD

=PT2 (PT切圆于T)

138

7. 三角形、平行四边形面积公式(略)

8.正弦定理:在△ABC中,abc?? SinASinBSinC

二.要运用相似三角形证明线段的积、幂,一般应把积、幂先化为比例式,然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。

乙例题

例1. 过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线,分别与边

BC,AD及AB的延长线交于E,F,G求证:GO2=GEGF

证明:设DC,AB的延长线相交于H,

∵FG∥DH, GEHC?从过点B的线束被平行线截得

GOHDGOHC?从过点A的线束被平行线截得 GFHD

∴GEGO? 即GO2=

GEGF GOGF例2.已知:CD是Rt△ABC斜边上的高,角平分线AE交CD于F 求证:CE2=DF×BE

分析:要

CE2=DF×BE成立,应证BECE? CEDF

可证CE=CF(等角对等边)根据角平分线性质可得 BBEABCFAC??, CEACDFAD只要AC2=ABAD这符合直角三角形中成比例线段定理

证明 (略)

例3.已知:△ABC中最大角A是最小角C的2倍,三边长是连续整数 求:△ABC的各边长

解:设AC为x, 则AB是x-1,BC为x+1 延长CA到D使AD=AB,连结BD,BA 则∠D=∠1 ∵∠BAC=∠1+∠D=2∠D, ∵∠BAC=2∠C, ∴∠1=∠D=∠C ∴等腰△ABD∽等腰△BCD

ABBDx?1x?1=?,,解得x=5, ∴三边长分别为4,5,6 BCCDx?1x?x?1

( 本题也可作∠BAC的平分线AE,证明△EAB∽△ACB)

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例4. 已知:⊙O和⊙O1相交于P,外公切线AB,A,B是切点,AP交⊙O于C,BP交⊙O1于D,CE和⊙O1切于点E

求证:CE=CB 证明:过点P作两圆公切线PQ交AB于Q

由切线长定理,得QP=QA=QB ∴△APB是Rt△,∠APB=Rt∠ ∴BC是⊙O的直径,BC⊥AB 根据射影定理,得BC2=CP×CA

∵CE切⊙O1于E,

D根据圆幂定理,得CE2=CP×CA

∴CE=CB

例5.正方形OPQR内接于△ABC,已知△AOR,△BOP,△CRQ面积是 S1=1,S2=3,S3=1。那么正方形OPQR的边长是( )

(A)2 (B)3 (C)2 (D)3 (1991年全国初中数学联赛题) 解:设正方形OPQR的边长为x,

∵S2=3,S3=1 ∴BP=62,QC=, xx∵OR∥BC,∴△AOR∽△ABC

S△AOROR2

∴ = BC2S△ABCPQC

1x2

即= 解得(x4-16)(x2+4)=0 ∴x=2 2621+3?1?x(?x?)2

xx

本题也可以求出△ABC的高为2+x, 用面积公式列方程。 x

丙练习41

1. 线段a,b满足等式a2+ab-b2=0 则a :b=____

2. △ABC中D,E三等分BC,中线BF分别交AD,AE于M,N,那么

BM∶MN∶NF=___

3. △ABC中,点D内分BC为1∶3,点E内分AD为1∶2,BE的延长

线交AC于F,则AF∶FC=___

4. 求证:有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的

乘积的比

5. 经过平行四边形ABCD顶点A画直线,分别交BD,BC及DC的延长

线于E,F,G。求证:EA2=EF EG

140

6. 在△ABC内任取一点G,分别延长AG,BG,CG交对边于D,E,F求证:BDCEAF=1(西瓦定理) DCEAFB

ABPN= ACPM7. 已知:AD是△ABC的中线,点M,N分别在边AB,AC上,AM=AN求证:

8. CD是Rt△ABC斜边上的高,O是CD的中点,AO延长线交AC于E, EF⊥AB于F,FE的延长线和AC的延长线相交于G,则EF2=EC×EB

9. 已知:平行四边形ABCD中E,F分别在AB,AD上且EF∥BD,CE,

CF分别交BD于P,Q。求证:BP=DQ

10. 已知:正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于E,交BD于F求证:

⑴BE=BF ⑵CE=2FO

11. 已知:△ABC中,D,E分别在边了BC,AB上,∠B=∠CAD=∠ADE

如果△ABC,△EBD,△ADC的周长为m,m1,m2 求证:m1?m25? m4E

12. 如图已知:点B在⊙A上,⊙A和⊙B相交于

C,D,⊙A的直径CE交⊙B于F

求证:2CB2=CE×CF 13. 选择题 2① △ABC中,AD是高,且AD=BD×DC,

那么∠BAC的度数是( )

(A) 小于90,(B)大于90,(C)等于90,(D)不能确定

(1990年全国初中数学联赛题)

②直角梯形ABCD中,垂腰AB=7,两底AD=2,BC=3,如果AB一点P使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似,那么适合条件的点P有几个?( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(1988年全国初中数学联赛题)

③ 已知PA切△ABC的外接圆于A,PA=6,BC=5,

则AC∶AC=( )

(A)2∶3 (B)6∶5 (C)4∶5 (D)3∶2

(1996年福建省达标中学中考题)

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例14.如图ABCD为圆内接四边形,过AB上一点

引MP,MQ,MR分别垂直于BC,CD,DA

连结PR和MQ相交于N

求证:PNBM? NRMA(1983年福建省初中数学联赛题)

15. 如图△PQR和△P1

Q1R1是两个全等的等边三角形,六边形ABCDEF的边长分记为AB=a1,,BC=b1,CD=a2,DE=b2,EF=a3,FA=b3

求证:a12+a22+a32=b12+b22+b32

(1988年全国初中数学联赛题) P1

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