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数学3月12日作业

发布时间:2014-05-25 23:04:05  

3月12日作业

1.如图,平面ABDE?平面ABC,?ABC是等腰直角三角形,AC?BC?4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD?BA,BD?1AE?2,O、M分别为2

CE、AB的中点.

AM

(1)求异面直线AB与CE所成角的大小;

(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值.

2.已知函数f(x)?alnx?C 2(a?R). x?1

(1)当a?1时,求f(x)在x?[1,??)最小值;

(2)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;

(3)求证:ln(n?1)?1111?????(n?N*). 3572n?1

试卷第1页,总1页

参考答案

1.(1) ?

3 ,(2)

【解析】

试题分析:(1)求空间角,一般利用空间向量解决.首先要建立恰当的空间直角坐标系,由平面ABDE?平面ABC及DB?BA,运用面面垂直性质定理,可得EA?面ABC,这样确定竖坐标.横坐标与纵坐标可根据右手系建立.因为异面直线AB与CE所成角?等于向量AB与CE夹角或其补角,而异面直线AB与CE所成角范围为(0,],所以2

(2) 直线CD和平面ODM所成角?与向量CD与平面ODMcos??|cos?AB,CE?| ,

法向量n夹角互余或相差90,而直线CD和平面ODM所成角?范围为(0,??

2],所以

sin??|cos?CD,n?.|

试题解析:

∵DB?BA,又∵面ABDE?面ABC,面ABDE面ABC?AB,

DB?面ABDE,∴DB?面ABC,∵BD∥AE,∴EA?面ABC, 2分

如图所示,以C为原点,分别以CA,CB为x,y轴,以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,∵AC?BC?4,∴设各点坐标为C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(4,0,4),

则O(2,0,2),M(2,2,0),AB?(?4,4,0),CE?(4,0,4),

CD?(0,4,2),OD?(?2,4,0),MD?(?2,2,2).

(1

)cos?AB,CE??1??, 2. 5分

则AB与CE所成角为?

3

答案第1页,总3页

??2x?4y?0,(2)设平面ODM的法向量n?(x,y,z),则由n?OD,且n?MD可得? ??2x?2y?2z?0,

令x?2,则y?1,z?1,∴n?(2,1,1),设直线CD和平面ODM所成角为?,则

sin??cos?n,CD??n?CD(2,1,1)?(0,4,2) ??|n||CD||(2,1,1)||(0,

4,2)|. 10分 考点:利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角. ∴直线CD和平面ODM2.(1) f(x)min?1;(2)a?

【解析】

试题分析:(1)由求导判的函数f(x)在x?[1,??)上单调递增,可求函数的最小值;(2)因1;(3)详见解析. 2f(x)存在单调递减区间,所以h'(x)?0有正数解,再分类讨论对类一元二次函数存在正解进行讨论.(3)利用数学归纳法进行证明即可.

试题解析:(1)f(x)?lnx?2,定义域为(0,??). x?1

12x2?1 ?f'(x)????0, 22x(x?1)x(x?1)

?h(x)在(0,??)上是增函数.

f(x)min?f(1)?1.

a2ax2?2(a?1)x?a(2) 因为h(x)?? ?x(x?1)2x(x?1)2'

因为若f(x)存在单调递减区间,所以h(x)?0有正数解.

即ax?2(a?1)x?a?0有x?0的解

当a?0时,明显成立 .

②当a?0时,y?ax?2(a?1)x?a开口向下的抛物线,ax?2(a?1)x?a?0总有222'

x?0的解;

2③当a?0时,y?ax?2(a?1)x?a开口向上的抛物线,

2即方程ax?2(a?1)x?a?0有正根.

因为x1x2?1?0,

答案第2页,总3页

所以方程ax2?2(a?1)x?a?0有两正根.

当x?1时,f(x)?f(1)?1; ……… 4分

???010?a?,解得. ?2x?x?02?1

1. ……… 9分 2

2x?1?1,即lnx?(3)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当x?1时,lnx?. x?1x?1综合①②③知:a?

nk?1k?11k?1n1?令x?,则有ln, ??ln. ??kk2k?1kk?1k?12k?1

n

?ln(n?1)??ln

k?1k?1, k

?ln(n?1)?111????. ……… 15分 352n?1

(法二)当n?1时,ln(n?1)?ln2.

13ln2?ln8?1,?ln2?,即n?1时命题成立. 3

111设当n?k时,命题成立,即 ln(k?1)????. 352k?1

k?2111k?2?????ln ?n?k?1时,ln(n?1)?ln(k?2)?ln(k?1)?ln. k?1352k?1k?1

2x?1?1,即lnx?根据(Ⅰ)的结论,当x?1时,lnx?. x?1x?1

k?2k?21?令x?,则有ln, k?1k?12k?3

1111?则有ln(k?2)????,即n?k?1时命题也成立. 352k?12k?3

因此,由数学归纳法可知不等式成立. ……… 15分 考点:1.求导判单调性;2.方程与根的关系;3.数学归纳法.

答案第3页,总3页

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