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第五章 综合问题选讲

发布时间:2014-05-25 23:04:08  

第十五届华罗庚少年数学邀请赛

第五章 综合问题选讲
第1节 最大与最小

1.有10个不同的大于0的自然数,它们的和是55,从中间 7 取出3个数后,余下的自然数的和是55的 11 ,则取出的3 个数的积最大等于多少?
1+2+3+4+5+…+10=55

{10,9,1} {10,8,2}

4 55 ? ? 20 11

{10,7,3} {10,6,4} {9,6,5}

{9,8,3} {9,7,4} {8,7,5}

5 ? 7 ? 8 ? 280

車 马 象 士 将 士 象 炮



兵 炮

車 马 相 士









帅 士











兵 兵



马 車

2.如图为中国象棋盘,盘中小方格是相等的小正方形,面积是1, “界河”的宽等于小正方形的边长。黑方有两个黑“象”,红方仅 有一个红“相”,问:这三枚棋子各行到什么位置时,以这三枚棋 子为顶点所构成的三角形的最大的面积是多少?





黑 方

红 方



3.把14分拆成几个自然数的和,再求出这些自然数的乘积, 使得到的积尽可能大,这个乘积是多少?
积最大:则分拆出的自然数不应该有0和1. 若K≥4,那么,可以将K在分拆成a和b(其中a ≥ 2,b ≥ 2), 即:K=a+b, a×b-K= a×b-(a+b)=(a-1)(b-1)-1≥0 即:当K≥4新的分拆出的自然数的乘积要大于或等于原来 分拆出的自然数的乘积。 14=2+2+2+2+2+2+2 3×3>2×2×2

14=3+3+3+3+2

3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 162

例4.下图是奥林匹克的五环标志,其中a,b, c,d,e,f,g,h,i处分别填入一个各不相同的1至9 的整数.如果每一个圆环内的数字和都相等,则 这个数字和的最大值与最小值分别是多少? a e b c d f g

i h

解:设每个圆环内数字的和为N,于是有 5N=1+2+3+…+9+b+d+f+h =45+b+d+f+h 显然,b+d+f+g的和是5的倍数。

9+8+7+6=30 b+d+f+h的最大值是30
所以N的最大值是15。

5

4

8 7 6

9
2

3

1

若N=15,则包含9的两个环,必有一个环的和大于15。

若N=14,b+d+f+h=25, 25=9+3+7+6 可以填成,如上图。

所以N的最大值是14。
1+2+3+4=10 N的最小值是11 若N=11,b+d+f+g=10

9

6 2 5 4 1 7 3

8

可以填成,所以N的最小值是11。

5.某学校有一道笔直的围墙,该校准备以围墙为一边,用 一道长36米的铁丝网,围成一块长方形菜地,这块菜地 的面积最大是多少平方米?

36? 2 ? 4 ? 18(米) 18?18 ? 2 ? 162(平方米)

1、两个数的和一定时,这两个数的差越小乘积越 大,差越大乘积越小。 2、周长一定的长方形和正方形,正方形的面积大。

3、周长一定的n边形中,正n( n ≥3)边形的面积最大。
4、面积一定的n边形中,正n( n ≥3)边形的周长最小。 5、周长一定的所有图形中,圆的面积最大;面积一定的 所有图形中,圆的周长最小。

6.A、B两地相距28.5千米,甲、乙和丙从A地同时出发去 B地,甲和乙步行速度每小时分别为5千米和4千米

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