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14届华杯赛

发布时间:2014-05-27 08:11:20  

第十四届华杯赛初赛试题及答案

一、 选择题。每小题10分,满分60分。以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英语字母写在每题的圆括号内)

1. 下面的表情图片中。

没有对称轴的个数为( )

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

2. 开学前6天,小明还没做寒假数学作业,而小强已完成了60道题。开学时,两人都完成了数学作业,在这6天中,小明做的题的数目是小张的3倍,他平均每天做了( )道题。

(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 15

3. 按照中国篮球职业联赛组委会的规定,各队队员的号码可以选择的范围是0~55号,但选择两位数的号码时,每位数字均不能超过5。那么,可供每支球队选择的号码共有( )个。

(A) 34 (B) 35 (C) 40 (D) 56

4. 在19,197,2009这三个数中,质数的个数是( )。

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

1. 下面有四个算式:

① 0.6+0.133=0.733

5 ② 0.625= 8

5 3 3+5 8 1 ③ 14 + 2 = 14+2 = 16 = 2

312④ 7×45=145

其中正确的算式是( )

(A)①和② (B)②和④ (C)②和③ (D)①和④

6. A、B、C、D、E五个小朋友做游戏,每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友:A→C,B→E,C→A,D→B,E→D,开始时A、B拿着福娃,C、D、E拿着福牛,传递完5轮时,拿着福娃的小朋友是( )。

(A)C与D (B)A与D (C)C与E (D)A与B

二、 填空题(每小题10分,满分40分)

7.下面的算式中,同一个汉字代表同一个数字,不同的汉字代表不同的数字。

团团×圆圆=大熊猫

则“大熊猫”代表的三位数是( )。

8.从4个整数中任意选出3个,求出它们的平均值,然后再求这个平均值和余下1个数的和,

12这样可以得到4个数:4、6、53和43 ,则原来给定的4个整数的和为( )。

9.如下图所示,AB是半圆的直径,O是圆心,弧AC=弧CD=弧DB,M是

弧CD的中点,H是弦CD的中点,若N是OB上一点,半圆的面积等于12

平方厘米,则图中阴影部分的面积是( )平方厘米。

●●●●

10.在大于2009的自然数中,被57除后,商与余数相等的数共有( )个。

1. 分析:通过观察可知,第1,2,5这三张图片是有对称轴的,其他的5张图片都没有对

称轴,所以没有对称轴的个数为5,正确答案是C。 2. 分析:由于开学前6填时小强比小明多做了60道题,而开学时两人做的题一样多,所

以这6填中小明比小强多做了60道题,而这6天中小明做的题的数目是小强的3倍,所以这6天小明做了60÷(3-1)×3=90道题,他平均每天做90÷6=15道题。正确答案为D。

3. 分析:根据题意,可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类,其中一位数可以为

0~9,有10种选择;两位数的十位可以为1~5,个位可以为0~5,根据乘法原理,两位数号码有5×6=30种选择。所以可供选择的号码共有10+30=40种。

4. 分析:19是常见的质数,197容易检验知也是质数,本题主要是考查2009这个数是否

是质数。实际上,2009=7×41,是个合数,所以在19,197,2009这三个数中有2个质数。正确答案为C。

5.分析:对题中的四个算式依次进行检验:

① 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133,所以①不正确;

5

② 0.625=8是正确的;

31

③ 两个分数相加应该先进行通分,而非分子、分母分别相加,本算式通过2﹥2即可

判断出其不正确;

3

④ 3124217224147×5=7×5=5=5,所以④不正确。

那么其中正确的算式是②和④,正确答案为B。

6. 分析:根据题意,A与C互相传,B、D、E之间则按B→E→D→B→?的顺序轮流传。开

始时,两个福娃分别在A、B手上,其中A手上的福娃经过5轮的传递将到C的手里,B手上的福娃经过5轮的传递将到D的手里。所以传递完5轮时,拿着福娃的小朋友是C和D。正确答案为A。

7. 分析:由于团团=团×11,圆圆=圆×11,所以大熊猫=团团×圆圆=团×圆×121,也就

是说“大熊猫”这个三位数是121的倍数,那么“团×圆”应当小于9( 否则9×121=1089为四位数),所以“团×圆”最大为8.

由于“团×圆”为一位数,“团×圆”再与121相乘即得到“大熊猫”,所以“大熊猫”的个位数字“猫”就等于“团×圆”,而百位数字与个位数字不相同,所以十位必须要向百位进位,即“团×圆”与2相乘至少为10,所以“团×圆”至少为5.

另外“团×圆”不能为质数,否则“团”、“圆”中有一个为1,而“猫”等于“团×圆”,则“猫”与“团”、“圆”中的另一个相等,不合题意。

“团×圆”至少为5,最大为8,又不能是质数,且“团”、“圆”都不为1,那么“团×圆”可能为6或8.如果为6,则“团”、“圆”分别为2和3,“大熊猫”为6×121=726,“熊”

与“团”、“圆”中的一个数相同,不合题意;如果为8,则“团”、“圆”分别为2和4,“大熊猫”为8×121=968,满足题意。所以“大熊猫”代表的三位数为968.

a?b?ca?b?d?d?4?c?6338. 分析:设这4个整数分别为a,b,c,d,根据题意,有:;;

a?c?d1b?c?d2?b?5?a?433;33。将以上四个式子相加,得到:2(a+b+c+d)=20,所以a+b+c+d=10,即原来给定的4个整数的和为10.

9. 分析:如下图所示,连接OC、OD、OH。

本题中由于C、D是半圆的两个三等分点,M是弧CD的中点,H是弦CD的中点,可见这个图形是对称的,由对称性可知CD与AB平行。由此可得△CHN的面积与△CHO的面积相等,

1

所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半,而扇形COD的面积又等于半圆面积的3,所11

以阴影部分面积等于半圆面积的6,为12×6=2平方厘米。

10. 分析:根据题意,设这样的数除以57所得的商和余数都为a(a﹤57),则这个数为57

34

×a+a=58a。所以58a﹥2009,得到a﹥2009÷58=3758,由于a为整数,所以a至少为35.又由于a﹤57,所以a最大为56,则a可以为35,36,37,?,56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数,所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。

第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学组)

一﹑填空题(每题10分,共80分)

1﹑计算:

2、如图1所示,在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中,共有25个格点。在以格点为顶点的直角三角形中,两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有_______个; 2008+2007×20092008×2009?1+ 2009+2008×20102009×2010?1 = _____;

图1

3、将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”。删去这个数中所有位于奇数位上的数字;按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止,则最后剩下的数字是 ________;

4、如图2所示,在由七个同样的小正方形组成的图形中,直线l将原图形分为面积相等的两部分。l与AB的交点为E,与CD的交点为F。若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米,那么小正方形的边长是________厘米。

AEB

CFD

图2

5、某班学生要栽一批树苗。若每个人分配k棵树苗,则剩下38棵;若每个学生分配9棵树苗,则还差3棵,那么这个班共有________名学生。

6、已知三个合数A,B,C两两互质,且A×B×C=11011×28,那么A+B+C的最大值为_______;

7、方格中的图形符号“◇”,“○”,“▽”,“☆”代表填入方格中的数,相同的符号代表相同的数,如图3所示,若第一列,第三列,第二行,第四行的四个数的和分别是36,50,41,37,则第三行的四个数的和为

图3

8、已知1+2+3+?+n(n>2)的和的个位数为3,十位数为0,则n的最小值是______。

二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)

111111

9、六个分数2,3,5,7,11,13的和在哪两个连续自然数之间?

10、2009年的元旦是星期四,问:在2009年中,哪几个月的第一天也是星期四?哪几个月有5个星期日?

11、已知a,b,c是三个自然数,且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。

12、在51个连续的奇数1,3,5,?,101中选取k个数,使得它们的和为1949,那么k的最大值是多少?

三﹑解答下列各题(每个题15分,共30分,要求写出详细过程)

13、 如图4所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O。已知AB=5,CD=3, 且梯形ABCD的面积为4,求三角形OAB的面积。

A

B

4

14、在图所示的乘法算式中,汉字代表1~9这9个数字,不同的汉字代表不同的数字。若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”,求出“华杯赛”所代表的整数。

祝贺 × 华杯赛 = 第十四届。

2009年14届华杯赛小学组决赛试题详解

1、 考点:分数的计算,换元法;

a+(a?1)×(a+1)解:a× a+1 ?1= a+a?1=1,故原式 =2; a2+a?1

2、 考点:计数问题;

解:每个1 × 3的长方形中有4个这样的直角三角形,转化为在4 × 4的方格中有多少个1 × 3的长方形,共有2×4×2=16个,根据乘法原理得到16 ×4=64个。

3、 考点:操作问题;

解:对于一排数,每次删除奇数位上的数字,如果开始有2n个数,那么最后剩下的一个数就是2n,考虑先删去几个数,使得剩下2n个数,可得需要删除2009 – 1024 = 985个,删去985个数,接下来的就是最后剩下第一个数,它在开始时是第2 ×985=1970,根据数的排列周期,这个数相当于循环节中的第3(1970 ÷7 =283….3)个,也就是3。当然也可以记住公式:a个数,按题目要求删去数,最后剩下的一个数在第2(a-2n)位,其中2n是小于a最大的2的次数数;

4、考点:面积的分割;

解:设每个小正方形的边长为a,那么由梯形AEFD的面积得到

5、考点:盈亏问题;

解:首先k是小于9的自然数,由盈亏问题,人数为 38+3 ÷ 9?k =9?k名,根据整除性,41是质数,约数只有1、41,那么k=8,人数为41

9?8417a22= 2 ×91 ×a,a = 26; 1 =41 名;

6、考点:质数与合数;

解:A ×B ×C=11011 ×28= 22 × 72 × 112 ×13,为使得三个合数的和最大,只需要一个数尽可能大,其它两个数尽可能小,得到 4+49+1573=1626;

7、考点:数阵图问题;

解:如图设未知数,则:

3a+b=36a=83a+c=37b=12 那么2a + b + d = 2×8 + 12 + 5 = 33; c=133b+d=412b+2c=50d=15

8、考点:余数问题;

n(n+1)2 =03 mod100 n n+1 =06(mod100),连续两个数的积的末位为6

的可

以是2×3,也可以是7 ×8。当为2×3时,n最小为42;当为7 ×8时,n最小为37。综上所述,得到n最小为37。

n(n+1)/2 = 103

203

303

403

503

603

703

803

903

12×13÷2=78

22×23÷2=253

32×33÷2=528

42×43÷2=903

17×18÷2=153

27×28÷2=378

37×38÷2=703

9、考点:分数估算;

111111????? 解:23571113

?1?1?11?1?1?????????213?31157???? ?

?151412?263335 。

15141215141241?????26<2, 因为263335<262626

151412151412????353535>1, 263335又因为>

111111

所以六个分数2,3,5,7,11,13的和在1和2之间。

10、考点:日历问题;

解:下表列出各个月的1号的相关信息:

10月1号与1月1号相距273天,273是7的倍数,所以,10月份的第一天也是星期四。

3月1号是星期日,3月份有31天,所以3月有5个星期日; 5月3号是星期日,5月份有31天,所以5月有5个星期日; 8月3号是星期日,8月份有31天,所以8月有5个星期日; 11月1号是星期日,11月份有30天,所以11月有5个星期日。

11、考点:最大公约数与最小公倍数;

2

2??a,b?2?3?5?? 解:如果b不是2的倍数,因为,则a一定是2的倍数。由此可知

2

??a,c??一定是22的倍数,但是??a,c???22?3?5不是22的倍数。所以b是22的倍数。同理

23

??b,c?2?3?可得c是3的倍数,所以?整除。

3

?a,b???60,??a,c???270,所以60是b的倍数,270是c的倍数,所以b,c的因为?

?b,c??b,c??60,270??是???22?3?5=?60,270??的约数。??22?3?5,最小公倍数?因为?所以??b,c???22?3=108. 540,或?

?a,c???60,??a,c???270,??b,c???540; 当a=1,b=60,c=270时,?

?a,c???60,??a,c???270,??b,c???108; 当a=5,b=12,c=54时,?

12、考点:整数的分拆;

解:显然,选的数越小,可以使选出的数的个数越多。

首先考虑从45个连续的奇数1,3,5,7,…,99中选出n个数,使它们的和不超过1949。

1?3?5?

??2n?1??n2

得n≤1949。

2

2

因为45?2025>1949,且45个奇数的和不小于1?3?5?

?89?2025>1949,

所以n≤44。

若选取44个奇数,因为偶数个奇数的和为偶数,而1949为奇数,所以不可能选取44个奇数,使得它们的和为1949。

所以n≤43。

2

因为44?1936<1949,2025-1949=76,且76是偶数,所以至少从1,3,5,…,

89中删除两个奇数,并使它们的和为76。如,去掉1,3,5,…,89中的两个奇数37和39,即选1,3,…,35,41,…,87,89。

?35?41?43??89?2025?76?1949。 易验证1?3?5?

所以n的最大值为43。

13、考点:面积的计算;

解:如图,根据梯形中的蝴蝶定理得到三角形OAB的面积为

49+15+15+25

+25=

2516

1

?AB+CD?h?42设三角形OAB的面积为x,梯形的高为h,则。

因为AB=5,CD=3,所以h=1,因为

SΔABO?SΔCBO?

15

AB?h?22,

所以

SΔOBC?

55

-SΔOABSΔOBC?-x22,即。①

3

-SΔOBC2,

。②

同理可得所以

SΔOCD?

SΔOCD?x?1

因为

SΔOAD+SΔOCD?SΔOBC+SΔOCD

SΔOAB

?

,所以

SΔOBC?SΔOAD?

SΔOAB

5

-x2。③

由三角形面积公式得所以

SΔOBC

SAO

?ΔOAD

OCSΔOCD

,即

SΔOBC

?

SΔOADSΔOCD

SΔOAB?SΔOCD?SΔOBC?SΔOAD

。④

?5??5?

x??x?1????x????x?

?2??2?。

由①,②,③,④的

2525SΔOAB?16。 所以x=12,即

14、考点:数字迷问题;

解:法一:首先考虑两位数乘以三位数得到的积为四位数,那么首位的乘积加上进位后也不能向前进位;再者48乘以21也要进位,故三位数的首位为1;第三,三位数的末位可以是2、6、7、9,试填十位上的数字,得到48×159=7632;

法二: 因为48能被3整除,所以“第十四届”所表示的数能被3整除,即“第14届”的四个数字之和能被3整除。

?9?45能被3整除,又因为1?3?5?所以“华杯赛”表示的数的数字之和也能被

3整除,即“华杯赛”所表示的数能被3整除。

因为48能被4整除,而且“祝”字是4,“贺”字是8,所以“届”为偶数,只能取2或6。 又“祝贺”与“华杯赛”的成绩为四位数,所以“华”字代表的数字只能是1,否则,即使“华杯赛”取最小的三位数是213,48×213=10224是五位数,所以取其他的三位数将更不符合要求。

(1) 当“届”取数字“2”时,则“赛”字只能是9,此时,算式是48?1杯9=第十四2。

因为余下的4个数字3,5,6,7中,只有5与10的和能被3整除,所以“杯”字只能取5.

此时,48×159=7632,符合要求。故“华杯赛”所代表的整数是159。

(2) 当“届”取数字“6”时,则“赛”取数字“2”或“7”。

① 若“赛”取数字“2”时,此时算式是48?1杯2=第十四6。

因为3与3,5,7,9的和分别为6,8,10,12,所以“杯”可以取数字“3”或“9”。 但是48×132=6336,48×192=9216,显然不符合要求。

② 若“赛”取数字“7”时,此时算式是48?1杯7=第十四6。

因为8与2,3,5,9的和分别为10,11,13,17均不能被3整除,所以不存

在“1杯7”使得等式48?1杯7=第十四6成立。

所以“华杯赛”所代表的整数为159。

第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B(小学组)

---只列出与A不同部分

1、计算:(105×95+103×97)-(107×93+101×99)=_____。

4、A,B,C,D,E,F六个小朋友做游戏,每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另一个小朋友:A F, B D, C

A,

F 开始时,A,B,C,D,E,F均各自拿着自己的玩具,传递完2002轮时

,有___个小朋友又拿到了自己的玩具。

二、解答下列各题:

11、有同样的三个正方体纸盒,每个纸盒的六个面上都写有一个数字,它们的展开图如图4所示,若把这三个纸盒按图5所示摆放在不透明的桌面上,则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是多少?

2

13

5

图四 64

图五

2009年14届华杯赛小学组决赛B试题详解

---只列出与A不同部分

1、16

4、2

11、答案:最大值是51,最小值是26.

解:由它们的展开图可知,每个纸盒相对的两个面上的数字之和都是7,六个面上的数字之和是21.为了使所有能看得到的数字之和最大,应该尽可能把数字小的面摆放在桌面上和两个纸盒相接的两个面上。

分析三个纸盒摆放的位置,要使能看到的数字之和的最大,就应该使看不到的数字之和尽可能小。由此可知,放在里面的那个盒子有三个面上的数字是看不到的,所以这三个面上应该放1,2,3这三个数字。

另两个盒子都有两个面上的数字是看不到的,所以这两个盒子的这两个面上的数字应该使1和2,所以所有能看得到的数字之和最大值为 21×3?6?3?3=51.

相反,要使数字的和最小,应该把数字大的面房子桌面上和两个盒子相接的两个面上。所以,这所有能看得到的数字之和最小值为21×3?15?11?11=26.

第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学组)

---只列出与A不同部分

1111111111(1??)?(??)?(1???)?(?)2424624624=_____。 1、 计算:

2、 将七位数“9876543”重复写287次组成一个2009位数“98765439876543…“,删去这

个数中所有位于奇数位(从左往右数)的数字后组成一个新数;再删去新数中所有位于奇数位上的数字;按上述方法一直删除下去直到剩下最后一位数为止,则最后剩下的数字为____。

4、如图1所示,直线L1与直线L2相交于点O,且互相垂直,点A1,A2,A3,A4,A5,An绕点O按逆时针方向依次落在L1与L2上,如果A1,A2,A3,A4,A5,An与点O的距离分别是1厘米,2厘米,3厘米,?n厘米,那么以A100 ,A101 ,A102 为顶点的三角形的面积为__平方厘米。

5、某班学生要载一批树苗,若每个人分配k棵树苗,则剩下34棵;若每个学生分配9棵树苗,则还差3棵,那么学生共有___人。

6、已知A、B、C是三个两两互质的合数,且A×B×C=1001×4×77,那么A+B+C的最小值为__。

二、解答下列各题

11、已知a,b,c是三个自然数,且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270,求b与c的最小公倍数。

12、图3是由32个面积为1的等边三角形组成的一个大的平行四边形,这个大的平行四边形内部及边上共有25个交叉点,以这些交叉点为顶点,可以连成多少个等边三角形?

2009年14届华杯赛小学组决赛C试题详解

---只列出与A不同部分

1、1/6

2、8

4、1021

5、37

6、222

11、答案:540或108

解:如果b不是22的倍数,因为 a,b = 22×3×5,则a一定是22的倍数。由此可知 a,c 一定是22的倍数。但是 a,c =2×33×5不是22的倍数。所以b是22的倍数。同理可得c是33的倍数。所以[b,c]应该被22×33整除。

因为 a,b =60, a,c =270,所以60是b的倍数,270是c的倍数。所以b,c的最小公倍数[b,c]是[60,270]的约数。

因为 60,270 = 22×33×5,所以 b,c = 22×33×5=540,或 b,c = 22×33=108。

当a = 1,b = 60,c = 270时, a,c =60, a,c =270, b,c =540;

当a = 5,b = 12,c = 54时, a,c =60, a,c =270, b,c =108;

12、答案:100。

解:面积是1的等边三角形有32个;面积是4的等边三角形有18个;面积是9的等边三角形有8个;面积是16的等边三角形有2个;

利用对称的性质,如图1,红色等边三角形的面积是由6个面积是1的等边三角形组成的正六边形面积的一半,等于3,面积是3的等边三角形共有9 ×2=18

个;

利用对称的性质,如图2和图3所示,蓝色等边三角形的面积是:×4×3+1=7,21面积是7的等边三角形共有2×4×2=16个;

利用对称性的性质,如图4,黄色等边三角形的面积是×24=12的有2个。 21如图5所示,灰色的正三角形的面积为×6×3+4=13,面积为13的正三角形共有214个。

因此,可以连成的等边三角形总计有32+18+8+2+18+16+2+4=100(个)。

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