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希望杯2005 第1试

发布时间:2014-05-27 14:11:28  

2005年“希望杯”数学邀请赛初一试题

第一试

一、选择题(一下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。)

1.(概念题)以下四个论断中不正确的是( )。

(A)在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数

(B)两个有理数互为相反数,则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称

(C)两个有理数不等,则它们的绝对值不等

(D)两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等

答案:C。

显然(A)、(B)是正确的。

两个有理数的绝对值不等,则它们在数轴上所对应的点到原点的距离也不相等,即它们在数轴上所对应的两个点不同,亦即这两个有理数不等,故(D)正确。

因为1≠-1,但|1|=|-1|,故(C)错误。

2. (正视图、俯视图、侧视图)我们从不同的方向观察同一物体时,可能看到不同的图形.则从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是( )。

(A) (B) (C) (D)

答案:C

从正面、左面、上面观察(A)都能看到长方形;从正面和左面观察(B)能看到长方形;从上面观察(D)能看到长方形。

3. (约数)105的负约数的和等于( )。

(A)-105 (B)-87 (C)-86 (D)-192 答案:D

因为105=3×5×7,所以105的负约数为

-1,-3,-5,-7,-15,-21,-35,-105,

它们的和为

-(1+3+5+7+15+21+35+105)

=-192

4.(折叠,空间想象)下列图形中经过折叠不能围成正方体的是( )。

(A) (B) (C) (D)

答案:D

动手通过折叠,易知只有(D)不能围成正方体。

5.(直线相交点)公园里准备修五条直的甬道,并在甬道交叉路口处设一个报亭,这样的报亭最多设( )。

(A)9个 (B)10个 (C)11个 (D)12个

答案:B

因为五条直线相交最多可设10个报亭。

6.(绝对值)如果a?b?c?0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是( )。

(A)a,b为正数,c为负数 (B)a,c为正数,b为负数

(C)b,c为正数,a为负数 (D)a,c为负数,b为正数

答案:C

由已知得a≠0.

若a为正数,则b,c均为负数,若a为负数,则b,c均为正数,故选(C)

7.(绝对值)如果a3?b3??a?b3,则下列不等式中成立的是( )。

(A)ab>0 (B)ab≥0 (C)ab<0 (D)ab≤0

答案:B

当a=b=0时,a3?b3??a?b3成立,所以(A)、(C)不正确。

又挡a=b=1时,a3?b3??a?b3成立,所以(D)不正确。 事实上,由?a?b3?a3?b3≥0,得到b3≥|a|3,所以b≥|a|≥0。

当b≥|a|时,a3?b3=b3?a3??a?b3,所以?a3??a,即a?a≥0

故ab≥0。

8.(方位、角)一艘轮船由A地向南偏西45°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西15°的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距( )。

(A)30海里 (B)40海里 (C)50海里 (D)60海里

333333

答案:B

根据方向角的知识,作图可知 ∠ABC=45+15=60,AB=BC, 所以△ABC为等边三角形, 故A、C两地相距40海里。

15oC

西北

45北 A

45南

B

9.(利润问题)

,若税率由b%调为c%,且商品的进价和利润率都未改变,则商品的售价是原来的( )。

1?b%1?b

倍 (B)倍 1?c%1?cb%1?b%

(C)倍 (D)倍

1?c%c%

(A)

答案:A

设商品原来的售价为a元,税率调整后为x元。 由“利润=售价-进价-售价×税率”,得

进价+利润=售价×(1-税率) 因为商品的进价和利润均未改变,所以

a(1?b%)?x(1?c%)

x1?b%?。 a10.

given by (A)

(B)(C)(D)(英汉小词典:point 点;real number axis 实数轴;represent 表示) 答案:A

译文:已知-b<0,a+b>0。则a,b在数轴上对应的点可表示为( )。

由a,b异号,排除(D)。 由a-b<0知,a<b,即在数轴上,a对应的点在b对应的点的左侧,排除(C)。

由a+b>0,排除(B)

二、A组填空题

11.(数据分析)下表是2004年雅典奥运会男子110米跨栏决赛的结果,其中最后一名选手的成绩比第一名选手的成绩少 秒。

答案:-0.85

观察表中数据可知,第一名选手的成绩为12秒91,最后一名选手的成绩为13秒76,所以最后一名选手的成绩比第一名选手的成绩少

12.91-13.76=-0.85(秒)

?7?1??1?1?2?2???5? 12.计算:?????2??1??9???22???0.75?2??5?3答案:?31 32

2?7?5??1?3??1?原式=???????1???????2????? ?8??5?2??9?4?

25?7?19=??1????2? 29168??

5199=??? 29168

59? =328

31=? 32

13.(百分数计算)一台计算机的硬盘分为3个区,每个区的使用情况如图所示,则这个

硬盘的使用率为 。

答案:32%

依照图中所示的数据直接计算

12.5?26%?15.8?29%?10.2?44%?100% 12.5?15.8?10.2

12.32?100%=32% =38.5

14.(面积问题、切割)如图所示,在一个大正方形中有两个小正方形,它们的面积分别

为m,n。则

9答案: 8n

n= 。 mm

如图所示,设大正方形的面积为1,则

m?121142?=,n??= 299244

所以, 1

n199???? m2428

9

15.(表面积)图中的大矩形长8厘米、宽6厘米,小矩形长4厘米、宽3厘米,以长边

中点连线(图中的虚线)为轴,将图中的阴影部分旋转一周,得到的几何体的表面积为 平方厘米。

答案:92?

如图,阴影部分旋转得到的几何体是从一个大圆柱体

中去掉一个小圆柱体,其表面积等于大圆柱体的表面

积加上小圆柱体的侧面积,即

??8?6?2???42???4?3?92?(平方厘米)

16.(一元一次方程)120名学生推车运土,规定每3名女生推一辆车,每2名男生推一辆车,共48辆车,其中女生共 人。

答案:72

设其中女生有x人,则男生有(120-x)人。根据题意列出方程

x120?x??48 32

解得x=72

17.(假设法)已知abc≠0,且

3 2

abc设???k,则 bcaabc3a?2b?c??,则= 。 bcaa?2b?3c答案:?

a?bk,b?ck,c?ak,k≠0

三式相乘,得abc?k3,即k=1,由此得a?b?c,所以

3a?2b?c3?2?13==?. 2a?2b?3c1?2?3

18.(方程)甲、乙两个公司用相同的价格购粮,他们各购两次,已知两次的价格不同,甲公司每次购粮1万千克,乙公司每次用1万元购粮,则两次平均价格较低的是 公司。

答案:乙

设两次购粮的价格分别为x元/千克和y元/千克(x≠y),则

甲公司两次购粮的平均价格为

10000x?10000yx?y?(元/千克) 200002

乙公司两次购粮的平均价格为

2000022xy??(元/千克) 100001000011x?y??xyxy

x?y2xy(x?y)2?4xy(x?y)2

-==>0, 2x?y2x?y2x?y所以两次平均价格较低的是乙公司。

19.有a个人都属鸡,而且生日都是3月20日,某年,他们的年龄数的乘积为207025,他们的年龄数之和是102.则a= 。

答案:6

(因数)既然他们的属相相同,生日都是3月20日,则他们的年龄数之差一定是12的倍数,又

207025=5×5×7×7×13×13

=1×1×13×13×25×49

且1+1+13+13+25+49=102

所以a=6

20. 小纪念册每本5元,大纪念册每本7元.小明买这两种纪念册共花142元,则两种纪念册最少共买 本。

答案:22

(方程,最值)设小明买了x本小纪念册,y本大纪念册,则有

5x?7y?142

易知0<x≤28,0<y≤20

再设x?y?a,由5x?7y?142得

(5x?5y)?2y?142,

则 a?142?2y 5

显然a是正整数,y的值越大,a的值越小。

依次取y=20,19,18,17代入a?

当y=16时,a?142?2y试算,a都不是正整数。 5142?2?16?22 5

所以两种纪念册最少共买22本。

三、B组填空题

21. 分母是21,且大小在?122和?之间的分数有个。分母是10,且大小在?3331和?之间的分数是。 3

456答案:6;?,?,? 101010

(同分母比较大小)因为?间的分数有6个。 1221417??,???,所以分母是21,且大小在?和?之32132133

2010

201021又因为???,???,且介于与之间的整数有4,5,6,所以分母是10,33310310

12456且大小在?和?之间的分数是?,?,?。 10101033

122. 点A、B分别是数-3,?在数轴上对应的点。使线段AB沿数轴向右移动到A′B′,2

且线段A′B′的中点对应的数是3,则点A′对应的数是 ,点A移动的距离是 。 719答案:; 44

线段AB的长为

15(?)?(?3)?, 22

所以A′对应的数为 3?157??, 224

点A移动的距离为 719?(?3)? 44

23.如图所示,每个圆纸片的面积都是30。圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为6,8,5。三个圆纸片覆盖的总面积为73。则三个圆纸片重叠部分的面积为 ,图中阴影部分的面积为 。

答案:2;58

如图,设三个圆纸片重叠部分的面积为x,则依据包含

排除原理得

30?3-6-8-5+x=73

解得 x=2

所以图中阴影部分的面积为

73-6-8-5+2?

2=58 x

24.如图所示,∠BOD=45°,那么不大于90°的角有 个,它们的度数之和是 。

答案:10;450°

共有5条射线,其中的任意两条构成一个不大于90°的角,一共有10个角,这10个角分别为∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD,∠COE,∠DOE.其中

∠AOE=90°,∠BOD=45°,

∠AOB+∠BOE=90°,∠AOC+∠COE=90°

∠AOD+∠DOE=90°,∠BOC+∠COD=45°

故这10个角的度数之和为

90°×4+45°×2=450°

25. 一个分母为7的最简真分数化成小数后,从小数点后第一位起,连续k位数字之和恰等于2005,则k= 或 。 ··········12345(已知=0.142857,=0.285714,=0.428571, =0.571428,=0.714285, 77777

··6=0.857142.) 7

答案:445;447

分母为7的最简真分数有

··12=0.142857,77

··45=0.571428,77123456,,,,,6个,它们的循环小数形式分别是 777777····3=0.285714,=0.428571, 7····6=0.714285,=0.857142. 7

以上6个循环小数中的一个循环节的数字和均为27.而

2005÷27=74??7, 15于是可知,符合题意, 77

1对于,由小数点后第一位起连续6×74+3=447位数字的和为2005; 7

5对于,由小数点后第一位起连续6×74+1=445位数字的和为2005; 7

所以k=445或

447

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