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25届希望杯初一第1试试题解析

发布时间:2014-05-28 11:59:32  

第1题:平方差公式的利用,观察上下数列数量关系;难度系数:0.2 第2题:几何图形对称轴问题;难度系数:0.1

第3题:特例法:a=2,b=-1,c=-1; 难度系数:0.1

第4题:逐一排除法:不等式变号和不变号的情形;难度系数:0.2;多半错于,只看其中一个选择项,再加上知识的清晰度不足,若能认真对比分析,可以弥补知识上的不足。

第5题:几何图形计数问题:条理要清晰,1个小四边形的情形有6个;2个小四边形的情形有7个(3横4纵);3个小四边形的有2个;4个小四边形的有2个;5个没有,6个的有1个;∴共有6+7+2+2+1=18个;难度系数:0.6

第6题:不等式的整数解:图解时,注意打上空心圈;难度系数:0.1 第7题:设几何图形线段间的关系方程,即E点正方形四边的距离为变量2a、a、3b、b则有?

CDE=?2a?b?30,解得a=12,b=6,所以S△3b?a?30?30?6=90;难度系数:0.6 2

第8题:整式的加减乘除的概念;难度系数:0.1

第9题:绝对值和平方的概念、取值范围;难度系数:0.1

第10题:设原长方形的长宽高为a、b、c,则增加的面积表达式为:△S=2[(a+b)+(a+c)+(b+c)]+6,即△S=4(a+b+c)+6,即△S减6的差能被4整除,且a+b+c≧3。难度系数:0.8

第11题:解方程,因式分解初步,提取公因式;难度系数0.2 第12题:2[180-(a+5a)]+[180-(3a+3a)]=360;难度系数0.4 第13题,列方程求系数;难度系数0.1

第14题,列几何图形方程;设AE=a,AB=CD=b,则DF=3a,四边形ADEF:四边形BCEF=4:5,即4a:(b-a+b-3a)=4:5即

b=a,EB=b-a=a;难度系数0.6

第15题,工程问题,难度系数0.1

第16题,面积的计算,难度系数0.1

第17题,多边形内角外角和,添加辅助线的思维方式;难度系数0.4 第18题,分子拆分法求数列和;难度系数0.1

第19题,图形的排列组合,有争议的是左右对称图形,是否算同一种排列,因为前后看图形就会左右对换,本题定为左右对称图形不是同一种排列,通常没有特别说明时图形的左右对称排列不属于同一种排列;可以令一头为a,二头为b,三头为c,则有:单一abc排列各有一种,共3种;2a2b情形,用空隙法,重复排除法,不难找到6种;4a1b情形,用空隙法,重复排除法,易得5种;3a1c情形,用空隙法,易得4种;1a1b1c情形,经典的排列组合,3×2种;即,3+6+5+4+6=24种;难度系数0.8

第20题,整除问题,据题意列模数方程,得,

0mod5)?100a?10b?c?c?(?0mod6),(其中式中的等号为恒等号),易见?100c?10b?a?4c?4b?a?(

?100c?10a?b?2c?3a?b?(0mod7)?92724a4?,∴2b?4a5

c=5,4b+a+2整除6,3a+b+3整除7;即,?12、18、24、30、36?4b?a?2?6、,14、21、28、35?3a?b?3?7、

48、66、84、102?3a?12b?30、解,易见6、7无解,?,11b为右边两方程常3a?b?11、18、25、32?

数项之差,即两方程右边常数项之差整除11,且a≠5,b≠5,解得

?a?4?a?6?a?4????b?6,?b?7,其中将?b?6代入原题,546整除6,不符合题意,舍?c?5?c?5?c?5???

?a?6?a?6?去;?代入原题,符合题意,故得解b?7??b?7;难度系数0.8

?c?5?c?5??

第21题,计算问题,难度系数0.2

第22题,计算问题,难度系数0.2

第23题,几何图形面积计算,易得△AEB为△ABD的一半,即为四边形的,即为5;连结,BD中点M和F点,易得BM=BE,FM∥BC,BG为△EFM中位线,△BEG为△EFM面积的,易得S△EFD=S△FBD=7.5,S△DFM=S△BCD=2.5(MF为△BCD中位线),S△EFM=7.5-2.5=5,所以△BEG为;难度系数0.6;解法很多。

第24题,自然数分子分母相差1的分数大小比较,难度系数0.3 第25题,考点是自然数平方和公式和同余定理;∵

,∴原式=2014?2015?4029=1007×201561414321454

×1343,由同余定理得,1007×2015×1343≡1007(mod 3)×2015(mod 3)×1343(mod 3)≡2×2×2≡2(mod 3),∴m=2;1007×2015×1343≡0(mod 5),∴n=0。代入m、n,结果易得。难度系数0.8。

自然数平方和公式的证明

证明 :∵

此式对于任何自然数n都成立。 依次把n=1,2,3,...,n-1,n代入上式可得

把这n个等式的左边与右边对应相加,则n个等式的左边各项两两相消,最后只剩下

;而前n个等式的右边各项,我们把它们按三列相加,提取公因数后,第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和,第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和,第三列是n个1。因而我们得到。

现在这里

对这个结果进行恒等变形可得

移项,合并同类项可得

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