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初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算(1)

发布时间:2014-05-28 11:59:42  

金苹果文化培训学校 奥数学提高班

第一讲 有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.

1.括号的使用

在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.

例1 计算下式的值:

211×555+445×789+555×789+211×445.

例2 在数1,2,3,?,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?

2.用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:

这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________

于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________

这个公式叫――___________公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.

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例3 计算 3001×2999的值.

练习1 计算 103×97×10009的值. 练习2 计算:

练习3 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

练习4 计算:

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金苹果文化培训学校 奥数学提高班 3.观察算式找规律

例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分. 87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.

例5 计算1+3+5+7+?+1997+1999的值.

例6 计算 1+5+52+53+?+599+5100的值.

例7 计算:

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练习一

1.计算下列各式的值:

(1)-1+3-5+7-9+11-?-2009+2011;

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100;

(3)1991×1999-1990×2000;

22 (4)472634+472635-472633×472635-472634×472636;

1111?????????? (5) 1?33?55?72009?2010

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(6)1+4+7+?+244;

1111(7)1??2?3????????2000 3333

179111315197199-?-???????+-(8)1-? 3122030425697089900

2.某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分.

81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.

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第一讲 有理数的巧算答案

例1 计算下式的值:

211×555+445×789+555×789+211×445.

分析 直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第

一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000.

说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧.

例2 在数1,2,3,?,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?

分析与解 因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,?,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,?,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1.

现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.

这启发我们将1,2,3,?,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.

所以,所求最小非负数是1.

说明 本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化.

例3 计算 3001×2999的值.

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999.

例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.

87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88. 分析与解 若直接把20个数加起来,显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在90上下,

所以可取90为基准数,大于90的数取“正”,小于90的数取“负”,考察这20个数与90的差,这样会大大简化运算.所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)

=1800-1=1799,

平均分为 90+(-1)÷20=89.95.

例5 计算1+3+5+7+?+1997+1999的值.

分析 观察发现:首先算式中,从第二项开始,后项减前项的差都等于2;其次算式中首末两

项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000,于是可有如下解法.

解 用字母S表示所求算式,即

S=1+3+5+?+1997+1999. ①

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再将S各项倒过来写为

S=1999+1997+1995+?+3+1. ②

将①,②两式左右分别相加,得

2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+?+2000+2000(500个2000)

=2000×500.

从而有 S=500 000.

例6 计算 1+5+5+5+?+5+5的值.

分析 观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5,

所得新和式中除个别项外,其余与原和式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算. 解 设S=1+5+52+?+5+5, ①

所以

5S=5+52+53+?+5100+5101. ②

②—①得

4S=5-1,

101991002399100

例7 计算:

分析 一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以我们不但不通分,反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法.

解 由于

所以

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数

巧算中很常用.

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