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浙江数学竞赛(微积分)试题

发布时间:2014-05-29 14:05:10  

浙江省首届高等数学(微积分)竞赛试题

(2002.12.7)

一、计算题(每小题5分,共30分)

1.

求极限. x?011?x?2,?y?2}. 222. 求积分??|xy?1|dxdy,D?{(x,y)|

D

3. 设y?x2ex是方程y???ay??by?cehx的一个解,求常数a,b,c,h.

4. 设f(x)连续,且当x??1时,f(x)[

n?x0xex,求f(x). f(t)dt?1]?2(1?x)2

5. 设Sn??arctan

k?11,求limSn. 2n??2k

1x?1

6. 求积分1(1?x?)exdx. x22

x2y2

??1内的面积. 二、(满分15分)求平面x?2y?2z?1含在椭圆柱体49

三、(满分20

分)证明:0x2)dx?0.

四、(满分20分)设二元函数f(x,y)有一阶连续的偏导数,且f(0,1)?f(1,0). 证明:单位圆周上至少存在两点满足方程y??f(x,y)?xf(x,y)?0. ?x?y

an五、(满分15分)(非数学类做)设{an},{bn}为满足e

知an?0(n?1),且?an?ebn,n?1的两个实数列,已?an收敛.证明:?n?1?bn也收敛. n?1an?

六、(满分15分)(数学类做)设a1?1,a2?1,an?2?2an?1?3an,n?1,求收敛半径、收敛域及和函数.

?axnn?1?n的

2003年浙江省大学生高等数学

(微积分)竞赛试题

(工科类)

一、计算题(每小题15分,满分60分)

?1、求limx?0x0sin(xt)2dtx5

x。 12、设G(x)??1tsint3dt,求?G(x)dx。 0

3、求??

0x2dx。 1?x4

n

4、求limn?k。 ?2n??n?kk?1

2二、(满分20分)求满足下列性质的曲线C:设P0(x0,y0)为曲线y?2x上任一点,则由

曲线x?x0,y?2x,y?x所围成区域的面积A与曲线y?y0,y?2x和C所围成区域的面积B相等。

三、(满分20分)求222?L(x?1)2ydx?xdy?y2?1的上半平面内部分,,其中L从点(?2,0)229x?y

到(4,0)。

四、(满分20分)证明:|?2004

2003sint2dt|?1 2003

五、(满分15分)设?(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且?(0)?0,?(1)?1。证明:存在(0,1)内两个数?,?,使12??3。 ???(?)?(?)

六、(满分15分)从正方形四个顶点P…,P3(1,0),P2(1,1),P4(0,0)开始构造PP1(0,1),5,6,使得P12的中点,P5为PP6为P2P3的中点,P7为P3P4的中点,P8为P4P5的中点,…,这样,我们得到点列{Pn}收敛于正方形内一点P0,试求P0的从标。

2009年浙江省大学生高等数学

(微积分)竞赛试题

一、计算题(每小题12分,满分60分)

1、求极限lim1?(2n)!?。 n??n?n!???1n

2

、计算不定积分。

3、设f(x)?x3sin2x,求f(2009)(0)。

?2z4、设g二阶可导,f有二阶连续偏导数,z?g[xf(x?y,2y)],求。 ?x?y

5、设f为连续函数,?(x)??x

0dv?f(u?v?x)du,求??(x)。 0x

1

?xax?bx?x二、(满分20分)已知极限lim?e??1,求常数a,b的值。 ?x?01?x??

三、(满分20分)设?为由抛物面z?2x2?y2与平面4x?2y?z?1围成的立体,其边界的平面部分为S1,曲面部分为S2,p0为S2上的一个点。

(1)求以p0为顶点,S1为底面的锥体体积V;

(2)求p0,使V达到最大值。

四、(满分20分)设f导函数连续,R(x,y,z)?2?x2?y2

0f(z?t)dt,曲面S为z?x2?y2被

x?y?1所截的下面部分,内侧,L为S的正向边界,求:

?2xzf(z?x2?y2)dx?[x3?2yzf(z?x2?y2)]dy?R(x,y,z)dz。

1

n五、(满分15分)设fn(x)?x?x?r,其中r?0,

(1)证明:fn(x)在(0,??)内有唯一的零点xn;

(2)问r为何值时,级数?x

n?1?n收敛?发散?

六、(满分15分)设f在[0,??)上可导,且f?(x)?f(x),f(0)?0,证明:f(x)?0(x?0)。

2010年浙江省大学生高等数学

(微积分)竞赛试题

(工科类)

一、计算题(每小题14分,满分70分)

1

、求极限lim?n??21?。

2、计算???

??dx。 22(1?x)(2?2x?x)

3、设?ABC为锐角三角形,求sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC的最大值和最小值。

4、已知分段光滑的简单闭曲线?(约当曲线)落在平面?:ax?by?cz?1?0上,设?在?上围成的面积为A,求??(bz?cy)dx?(cx?az)dy

?(ay?bx)dz。 ax?by?cz

5、设f连续,满足f(x)??exp(x2?t2)f(t)dt,求f?(1)?3f(1)的值。 0

11,an??max{an?1,x}dx,n?2,3,4,02x二、(满分20分)定义数列{an}如下:a1?

求liman。 n??,

三、(满分20分)设有圆盘随着时间t的变化,圆盘中心沿曲线L:x?cost,y?sint,z?t2(t?0)向空间移动,且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r(t)随时间改变,有r(t)?t,求在时间?0,?内圆盘所扫过的空间体积。 2

四、(满分20分)证明:当?x?0,32?1??????

x?t2??x2?1exp???dt?exp???。 x?2??2?

2五、(满分20分)证明:tanx?2sinx?3x,x??0,22?

????。 2?

2011年浙江省大学生高等数学

(微积分)竞赛试题

(工科类)

一、计算题(每小题14分,满分70分)

1

、求极限。 n??

22、求max(1,x,x,?,xn)dx。

?

3、计算

4

、计算?20[x2?x?1]cosxdx,其中[x]表示不大于x的最大整数。 1。

5、设球面x2?y2?z2?R上曲线C在xoy平面上的投影曲线为:?x?Rcostcos(4t)???且C的密度与该点到z轴的距离成正比,比例常数为k,0?t????,2??y?Rcostsin(4t)?

求C的质量。

二、(满分20分)设x,y,z?222??x?y?z?1,求方程组?3的解。 33??7x?14y?21z?6

三、(满分20分)有三块相同的密度均匀的正方形砖块(边长为16cm,厚度为1cm),两侧对齐叠放于一台面上(如图),从一侧伸出台面,问如何叠放在

确保所有砖块不落下的前提下使砖块伸出台面总长度a最大?并求此最大值。

四、(满分20分)设f:[0,1]?[?a,b]连续,且?1

0f2(x)dx?ab,证明:

111?a?b?0?f(x)dx???。 ?0b?a4?a?b?

五、(满分20分)已知数列{an},0?an?1,n?1,2,3,,定义:bn?2?[1?(1?a)],n

k

k?1n

n?1,2,3,

(ii)若级数

。证明:(i)若数列{an}中有无穷多项非零,则limbn??; n???an收敛,则limn?1?bn?0。 n??n

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