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2009年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试卷全解全析

发布时间:2014-05-30 14:38:54  

2009年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试卷

1、下列名人中:①比尔·盖茨 ②高斯 ③袁隆平 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥华罗庚 ⑦高尔基⑧爱因斯坦,其中是数学家的是( D )

A.①④⑦ B.③④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥

详解:高斯,1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育。是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名。华罗庚,1910年11月12日生于江苏省金坛市金城镇,1985年6月12日卒于日本东京。为著名的中国数学家,是近代中国解析数论典型群,是中国解析数论、曲型群、矩阵几何学、自守函数论与多个复变函数等很多方面研究的创始人与奠基者。培养了

王元、陈景润等数学人才。陈景润(1933.5~1996.3)是中国现代数学家。1933年5月22日生于福建省福州市,

1953年毕业于厦门大学数学系,他在50年代即对高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果,作出了重要改进,受到华罗庚的重视,被调到中国科学院数学研究所工作。1966年攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2),创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥的辉煌。世界级的数学大师、美国学者阿 ·威尔曾这样称赞他:“陈景润的每一项工作,都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”

2、已知a?222?b??c?,a?b?c,则abc=( C )

A.5 B.3.5 C.1 D.0.5

?a?b??a?b?????b?c??a2b2c2?1 详解:?b?c??a?c???c?a????

3、在直角坐标系中,若一点的纵横坐标都是整数,则称该点为整点。设k为整数,当直线y?x?2与y?kx?k的交点为整点时,k的值可以取( A ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 详解:?

?y?x?2

?x?2?kx?k?(k?1)x??(k?2)

y?kx?k?

?(k?2)

k?Z,x?Z,K?1,k?0?x?

??1??Z

?k?1??1,?3?四种情况。

4、如图,边长为1的正方形ABCD绕A逆时针旋转30到正方形ABCD,图中阴影部分的面积为( A )

A.1?

C.1?

0‘’‘

D.

详解:接连AE;易证RtABE?RtADE

??EAB???EAD?300?EB??

?SEDAB?2S

?

EAB

?

?

?S阴影?15、已知M?p4?p2q?1?,其中p,q为质数,且满足

q?p?29,则M?( D )

A.2009 B.2005 C.2003 D.2000

详解:M的值从小到大应该是无数个,由于选项有限,p不可能很大,p,q质数之差为29,则p质

42

数由最小质数2计算,即当p?2,q?31时,M?ppq?1?2000为所求。

??

6、四边形ABCD中?DAB?600,?B??D?900,

BC?1,CD?2,则对角线AC的长为( C )

详解:延长DC交AB的延长线于点K;在RtADK中,

?DAK?600?AKD?

30,BC?1,?CK?2,BK?

?DK?CD?CK?4,

?AD?

AK

?2AD?

AB?AK?BK?RtABC:AC?

?

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

1、 如果有2009名学生排成一列,按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、 1的规律报数,那么第2009名学生所报的数是。

详解:观察以上为1、2、3、4、5、4、3、2等8个数为一个周期进行循环,则2009除以8等于251 余1,说明有251个循环,仅余下1个数,即为第252个周期中的第一个数为1。

???

2、已知a,b,c满足

2a?4?b?2a2?c2?2?2ac,则a?b?c的值为

?a?3或1?

??b??2或0

?a?c?3或1?

?a?2?1?02?(a?c)2?0,?b?2?0

?

2

?a?c?0?(a?3)b?0?a?3或b?0

?

3、已知如图,在矩形ABCD中,AE?BD,垂足为E,?ADB?30且BC?

ECD的面积为

详解:由题可得:过CD点作CF?BD于F; 易证Rt

ABE?RtCDF?AE?CF?S

ADE

?

S

CDE

?ADB?300,BC??AE?BC?

?DE??6?S

ADE

?AEDE?4、有一等腰钝角三角形纸片,若能从一个顶点

出发,将其剪成两个等腰三角形纸片,则等腰 三角形纸片的顶角为108度。

详解:如图,5x?180

?x?360

顶角?BAC?3x?1080

三、简答题(本大题满分20分)

如图,直线OB是一次函数y??2x的图象,点A的坐标为?0,2?,在直线OB上找点C, 使得ACO为等腰三角形,点C坐标。

详解:ACO为等腰三角形,则分为三种情况讨论:

y??2x,?设C?x,?2x?,A?0,2?

2

① 当以A为顶点:则AC?AO,x??2?2x??4

2

?x

??,?C1

?

16?8,?

2

222

② 当以C为顶点:则CA?CO,则x??2?2x??x?4x

x??,

?

C2??,1?

③当以O

为顶点:则OA?OC,x?4x?4,?x??C3,C4

2

2

?

四、简答题(本大题满分25分)

某食品公司欲用这三种食物混合配制100千克食品,要求配制成的食品中至少含36000单位的

维生素A和40000单位的维生素B。

⑴配制这100千克食品,至少要用甲种食物多少千克?丙种食物至多能用多少千克?

⑵若限定甲种食物用50千克,则配制这100千克食品的总成本S的取值范围是多少?

详解:①设配制这100千克食品中,至少要用甲种食物x千克, 乙种食物y千克, 丙种食物至多能用z千克;据题意可得:

?x?y?z?100?x?y?z?100?x?35???300x?600y?300z?36000?x?2y?z?120????y?20

?700x?100y?300z?40000?7x?y?3z?400?z?45???

?50?y?z?100?y?z?50?y?z?50??300?50?600y?300z?36000?2y?z?70????20?y?50???②?700?50?100y?300z?40000 ?y?3z?50

?s1?50?6?20?4?30?3?470???470?s?500s?50?6?50?4?0?3?500?2

五、简答题(本大题满分25分)

如图,在凸四边形ABCD中,M为边AB的中点,且MC?MD,分别过C,D两点,作边BC,AD的垂线,设两条垂线的交点为P。过点P作PQ?AB于Q。

求证:?PAD?PBC

详解:如图:取AP,BP的中点分别为F,E;并连

结DF,MF,EC,ME;

易证:MF?1

BP?BE,ME?1AP?DF,

MC?MD?MDF?CME ?DFM??MEC,MFPE为??MFP??MEP

??DFP??CEP?DFP?2?PAD,

?CEP?2?PBC

??PAD??PBC

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