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例析以正方形为背景的数学竞赛题

发布时间:2014-05-31 23:31:42  

2中等数学

●数学活动课程讲座●

例析以正方形为背景的数学竞赛题

张宏政

(浙江省舟山市南海实验学校初中部,316021)

  (本讲适合初中)

正方形作为一种简单而优美的图形,既反映了特殊四边形的所有特征,又能与图形变换等重要的几何方法有机地融为一体.因此,近年来以正方形为背景的试题在各级各类数学竞赛中屡屡现身.类解析.

1 ,要认真分析题目的条件与结论,根据有关信息和图形的结构特点合理选择正方形的性质,从而发现解决问题的突破口.

例1 如图1,在正方形ABCD中,E是BC上的定点,且BE=10,EC=14,P是BD上的动点.则PE+PC的最小值是.

(2006,浙江省初中数学竞赛复赛)分析:考虑两条线段和的最小值,比较容易想到的是利用性质“两点之间线段最短”.这就需要把其中一条线段变换到另一侧,于

图1

是,由正方形的轴对称

性(如图1)可知AP=PC,故PE+PC=AP+PE.所以,当点P在AE上时,PE+PC最小,且由勾股定理可得最小值为26.

例2 如图2,正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3,且点B、C、G在同一直线上,M是线段AE的中点,联结MF.则MF的长为.

(2006,浙江省初中数学竞赛初赛)

  收稿日期:2008-02-23 修回日期:2008-05-21

分析1:如图

2,由M为AE的中点联想到中位线,个点最容易是

图2对,结FG、CE交于点O,再联结AC,易知FG∥AC;联结MO,由MO为△ACE的中位线知,MO∥AC.从而,F、M、O、G四点共线.故

FM=FO-MO=

FG-AC=.

222

分析2:如图3,由M为

AE的中点联想到中位线.如考虑让点F成为中点,则

图3

延长EF到H,

使EF=FH.于是,AH=2FM.而AH的长可构造直角三角形来计算,即过点A作AK⊥EH于K,则HK=1,AK=FD=1.

故AH=所以,FM=

.2

分析3:如图4,由M为AE的中点,又AD∥EF,直接考虑把△FME绕

M旋转180°,故

F的对称点F′为

图4

FM与AD的延长线的交点.所以,FF′=

? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

2008年第8期3

2FM.而DF′=AF′-AD=EF-AD=1,FD=1,故FF′=所以,FM=

.2

例4 如图6,点A在线段

BG上,四边形ABCD和DEFG

例3 如图5,四边形ABCD为正方形,⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P,并分别交AB、AD于点F、E.  (1)求证:DE=AF;

(2)若⊙O的半径为

,AB=+1,2

都是正方形,面

2

积分别为7cm

2

和11cm.求

图5

图6

△CDE的面积.

(1999,全国初中数学联赛武汉选拔赛)分析:由于CD=,CD上EH(6).

绕点D=AG=

DG-AD=2.

22

2

的值.ED

(第)

:、FP,以证明△DEPAFP.而这由ABCD为正方形,有

DP=AP,∠ADP=∠BAP=45°,∠EPF=

故S△ECD=cm.例5 如

图7,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,以AD、BC为边分别向外作正方形

180°-∠BAD=90°=∠APD,故∠EPD=

∠APF证得.

(2)联结EF.因∠BAD=90°,故EF为直径.则EF=由勾股定理得AE+AF=EF.而AE+AF=AE+ED=+1,故

AE+(+1-AE)=3.

2

22

2

2

图7

ADEF与正方形BCGH,I为线段EG的中点,

解得AE=或1.

于是,相应的ED=1或所以,

=或.ED2

联结ID、IC.证明:ID=IC.

(2004,全国初中数学联赛)

分析:粗看好像难以有效沟通条件与结论之间的联系.但仔细琢磨,由AB∥CD可知这两条平行线间的距离处处相等,于是,过

C、D两点分

注:本题的构造实际上充分利用了正方形的性质.而运用方程思想把几何问题代数化,则是解几何计算题中的常用思想方法.2 灵活进行图形的变换

别作梯形的高CK、DJ(如图8),有CK=DJ.再考虑

I为EG的中

图8

几何证明之难往往在于条件过于分散,这时就需要通过适当的几何变换把分散的条件有效地聚集起来,而正方形的特点恰恰为几何变换创造了必要的条件.

点,如何利用

它的性质呢?于是,想到把△ADJ、△CBK分别绕点D、C旋转90°到△EJ′D与△GK′C位置,以组成直角梯形EGK′J′,这样DJ′=

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4中等数

CK′.再过点I作IO⊥DC于O,就有EJ′∥IO∥GK′,则J′O=OK′.由此得DO=CO,

故IC=ID.

解决一些相应的几何问题中也能发挥很好的作用.

例7 如图10,把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分.则中间小正方形(阴影部分)的周长为.

(2007,浙江省初中数学竞赛初赛

)

例6 如图9,A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上,AB=2km,BC=3km,在B村的正北方向有一个D村,测得∠ADC=45°.今将△ADC区域规

图9

划为开发区,除

2

其中4km的水塘外,地.(1995)分析:问题显然就是求BD的长,但与条件之间无法实施有效的联系.因为∠ADC=45°,考虑到它与直角的关系,所以,想到把△DAB、△DCB分别作轴对称变换(如图9),则∠EDF=90°.于是,把残缺图补成正方形

DEGF.

10图11

分析:由图10容易联想到构作弦图(如图11).则小正方形的边长应为

AB-BC=AB-DB=AD=5如果说此题还不易展现弦图的巧妙之处,那让我们再看一例.

例8 如图12,以Rt△ABC的斜边

BC为一边在△ABC

设DB=x.则

AG=EG-EA=DB-BA=x-2,CG=GF-CF=DB-BC=x-3.由勾股定理得

(x-2)2+(x-3)2=25.解得x=6或-1.

其中,x=-1不符合题意,舍去,故x=6.

2

由此可得面积为11km.

注:几何证明往往需要通过感知图形的直观特点进行分析.因此,此类问题一般都要根据条件所提供信息适当地进行添补,使问题的本质能彻底显露出来,从而有效解决问题.

3 巧妙利用弦图的作用

的同侧作正方形

BCEF,设正方形的中

心为O,联结AO.若

AB=4,AO=6,那

图12

).么,AC的长等于(  

(A)12 (B)16 (C)4 (D)8(2007,浙江省初中数学竞赛复赛)

分析1:在AC上取点G,使CG=AB=4.而∠BAC=∠BOC=90°,所以,A、O、C、

B四点共圆.故∠ABO=∠ACO.

因为BO=CO,所以,△BAO≌△CGO.由∠AOB=∠GOC,知∠AOG=90°.又AO=OG,故AG=12.因此,AC=16.注:此解法比较巧妙,不太容易想到.

弦图作为证明勾股定理的有效工具,在

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2008年第8期5

分析2:如由原图联想到构作弦图(如图13),易知点O也为小正方形的中心,于是,AO应为小正方形对角线的一半.故它的边长为

12.从而,AC=12+AB=16.

学联赛四川初赛)

(提示:把梯形补成正方形.则易知Rt△ABM≌Rt△AED.所以,ED=BM=x,即

22

CD=CM=4-x.在△CDM中,4+x=2(4-x),则x=8±4(x=8+4舍去).故S△CDM∶S△ABM=1∶2.)

图13

2

4.如图17,EFGH

练习题

1.如图14,四边形ABCD为正方形,以

AB为边向正方

形外作等边

△ABE,CE与BD交于点F.则∠AFD=图度.

(第)

(提示:由已知可得∠ECB=∠CEB=15°,再由正方形的轴对称性得∠FAB=∠ECB=15°.故∠AFD=60°.)2.如图15,在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=90°,BC=

CD=12,∠ABE=45°.

是正方形ABCD的内

接四边形,∠BEG与∠CFH都是锐角.已知EG=3,=4,图17.

(2000,全国初中数学联赛)

(提示:辅助线如图17,得矩形PQRT.易知S正方形ABCD+S矩形PQRT=2S四边形EFGH.设PQ=

x,QR=y,正方形的边长为a.则x=

-a,y=

2

2

-a.代入得a+

2

22

-a?

2

-a=10.解得a=

.)5

5.在7×7的单位正方形的网格中,共有64个格点,有许多以这些格点为顶点的正方

若AE=10,则CE的长

度为.

图15(2004,全国初中数

学竞赛)

(提示:先把梯形ABCD补成正方形CBFD,再把△ABF绕点B旋转90°到△BCG的位置.易知△ABE≌△GBE.于是,AE=EG=EC+AF=10.设EC=x.则AF=10-x,DE=12-x,AD=2+x.由勾股定理得(12-x)2+(2+x)2=102.解得x=4或6.)

3.如图16,在直角梯

形.这些正方形的面积有多少个不同的值?

(第21届江苏省初中数学竞赛)

(提示:考虑在边长小于或等于7(边长为整数)的正方形网格中不同弦图的个数(包括极端情况,除去面积相同的).如图18,阴影

2

正方形的面积为a+2

b,其中,0≤a+b≤7.

不失一般性,设a≥b,

图18

可以枚举所有可能的

(a,b)值:(0,0),(1,0),…,(7,0),(1,1),(2,1),…,(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(3,3),(4,3),其中,(0,0)不符合题意,舍去.

222

此外,5=4+3,即(5,0

)与(4,3)表示相同的面积.检验可知,其他面积两两不同.所以,共有18个不同的面积.)

形ABCD中,AB=BC=4,M为腰BC上一点,且△ADM为等边三角形.则S△CDM∶S△ABM=.

(2007,全国初中数

图16

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