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2008年北京市中学生数学竞赛初二

发布时间:2014-05-31 23:31:43  

18

中等数学

;竞赛之窗÷》、

2008年北京市中学生数学竞赛(初二)

一、选择题(每小题5分,共25分)

’.1.自然数n、6、c、d满足

’1

孑+萨+≯+孑。1..

1.方掣鹾荔≥一釜数譬(髫、y、二)为——.

2.如图2,过

,。

。7

则÷+去+专,击的值为(

(A)吉

(B)未.(c)墨

).

原点的直线与反

(D)芸

比例函数r=一二

义.

B刁

‘2.如图l,四边形船cD是一张长方形

纸片,将AD、曰c折起,使A、曰两点重合于

的图像交于点A、C,自点A、c分别作z轴的垂线,

~少

●,

,j

边CD上的点P,然后压平得折痕即与明.

若PE=8

垂足分别为曰、D.则四边形ABCD的面积等

PG=6锄.

嬲=10啪.

则长方形纸式ABCD蚋面

(.)cm2.

(A)105.6(C)115.2

万方数据

cm,

图l

于一.?3.在△船C中,么劬B=7伊,么伽的

’e

平分线与么AC日的平分线交于点,.若甜+

A,=日C,则么Ac8等于——度.

4.已知

2—丽+lr虿了+‘一+—i_面6r耍_i1石画‘

12+?磐+32。1∞42+100酽

(B)llO.4’(D)124.8

则A的整数部分是:二..

3.化简些的结果是(-

√2+√3

(A)l

5.在凸五边形小肋E中,么烈E+

j.

.,

么AED=2700,么召eD=9100,A口=3,BC=12,

CD=5,朋:4,AE=8.则五边形ABcDE的

2(B)√3(C)2.。(D)4

面积等于——’.

△船P、△脚和△AcP的面积相等.这样

的点P的个数是(

(A)8

(B)4

4.△肥C所在平面上的点P,使得

).(C)3

(D)l

’三、(10分)已知

——=———L—~:一=一.求竺业+掣兰+翟』+旦生的值.

y:“

y+o+“

:+u+茹

Ⅱ+戈+,,茹+y+二

’Z+“

“+髫

名+’,y+Z

5.在直角坐标系中,设A(一l,一2),

曰(4,一1),C(,,l,O),D(,l,n)为四边形的四

四、(15分)在六边形A战删卯中,A曰∥

DE,BC力EF,CD/?FA,AB+DE=BC+EF;

AlDl=BIEt,AI、BI、Dl、E1分别是边船、

个顶点.当四边形』4曰cD的周长最短时,罢的

‘。

值为(

).

_’

。l

且C、舾、盯的中点.求证:么仍旧=么舡g.

五、(15分)求证:能是0,l,4,2;

1“

(A)一2(B)一l。(c)一去,(D)l

二、填空题(每小题7分,共35分)

(1)一个自然数的平方被7除的余数只

2008年第12期

(2)对任意的正整数,l,

’[∥而再西石i叹i丽]

不被7整除([戈]表示不超过实数茗的最大:整数)。

且A,|I\『:掣:掣,.};D。’Ⅳ:半;掣:掣.

在△日,脚。与△A,肋。中,

B、M=AIN,ELM=DkN.

19

参考答案

一、1.D

5.55.2

2.C

3.C2.14

4.B3.75

5.A4.2008

又因为AIDI-B。E,,所以,

二、1.(1,3,6)三、由已知得

△曰l砸l丝△Al彻J.

因此,么8l舰l=么Al加1.

故么位堀=么A旭.

五、(1)设自然数

m=7口+r(,.=O,1,…,6).

贝0m2=(7q+r)2=49q2+14qr+r2.由于r2只能取O,l,4,9,16,25,36,被7除的余数对应为0,1,4,2,2,4,1.因此,一个自然数的平方被7除的余数只能是O,l,4,2.

(2)由于,l(n+2)(n+4)(n+6)=(,12+6n)(n2+6聘+8)(凡=l,2j…),令后=n2+6,1.贝Ⅱ

’、

,.。

t?

菇+V+Z+U石+,,+Z+Ⅱ—————J‘—————————一=—————oo‘————————一

’,+彳+Ⅱ石+配+茹

X+’,+:+配

石+y+彳+配

=————‘——————一=————‘———————一.U+石+y名+y+z

(1)如果分子髫+y+:+“≠O,则由分母推得名=,,=:=u.此时,

’,}

兰i』+!_!』+三二』+旦旦

z+“

H+聋

菇+,,

,,+z

万方数据

=l+1+l+l=4.

(2)如果分子茗+y+:+M=O,则筇+y=一(2+“),,,+彳=一(配+菇).

‘:

n(n+2)(厅+4)(n+6)=(儿2+6n)(,12+6,l+8)=五(J}+8)(.|}≥7).

。1

此时,等+毫+等+鬻

Z+U

王‘+菇茁+',y+名

=(一1)+(一1)+(一1)+(一1)=一4.四、如图3,作口ABPF。

.=厂玎j丽: ̄/j}2+8虮

故√n(髓+2)(厅+4)(玎+6)

联结卯,取8

DP蚋中点M.则四边形曰cDP是梯形,联结

B.肘、

图3

由驴+6矗+9<五2+8后<后2+8后+16,贝0(后+3)2<J|}2+8后<(蠡+4)2.,因此,忌+3< ̄/后2+8后<.|}+4,B口

[√后2+8尼]=后+3.

E。彤.由梯形中位线定理知

[/玎磊i而再丽翮]

也就是

B。M÷}∞?}j8p?}蟠.

且曰I肼:掣:掣,E。膨:半:掣.

溉、?}DE÷}FP?}气B.

如果[/i五了萄百再j又厕]被7整

除,必须且只须(,l+3)2被7除余6.然而,一

个自然数的平方被7除的余数只能为O,1,4和2中的一个,因此,对任意的正整数,l,(n+3)2—6不能被7整除,也就是

=蠡+3=n2+6n+3=(n+3)2—6.

同理,作口曰CDo,联结OF,取DF的中点Ⅳ,联结A。Ⅳ、D。Ⅳ.由梯形中位线定理知

[“币再丽石了万丽]

丸。K?}甜}}Bo?{cD.ND。ffE车}}oD?{BC.

不能被7整除.,

(李延林提供)

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