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2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷和解答

发布时间:2014-05-31 23:31:45  

2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷

(3月8日下午4:00—6:00)

班级:: 姓名: 成绩:

考生注意:

1、本试卷共五道大题,全卷满分140分; 2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答; 3、解题书写不要超出装订线; 4、不能使用计算器。

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中有且只有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得7分;不选、错选或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。

1、已知?1?x?0,则?x2,x,A、?x2?x?C、x??x2?

1

的大小关系是( ) x

1

??x2?x x

1 x

B、

11 D、?x??x2 xx

2、如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP, 过P作PQ?BP,PQ交CD于Q,若AP?CQ?2,则正方形ABCD的面积为( )

A、6?42 C、12?82

B、16 D、32

B A

P

Q C D

3、若实数a,b满足b2?a?2b?2?0,则a的取值范围是( ) A、a??1

B、a??1

C、a?1

D、a?1

4、如图,在四边形ABCD中,?B?135?,?C?120?,AB?6,BC?3?,CD?6,则AD边的长为( )

A、6

B、4

C

A D

C、42

5、方程 D、3 113??的正整数解(x,y)的组数是( ) xy7

A、0 B、1 C、3 D、5

yxzy2x2z2

???1,则??6、已知实数x,y,z满足的值是( ) y?zz?xx?yy?zz?xx?y

A、?1 B、0 C、1 D、2

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

x表示x的正约数个数,则③×④÷⑥等于. 1、x是正整数,○

2、草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛在60天内可以吃完这片青草,则20头牛吃完这片青草需要的天数是 .

3、如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是BC、DC的中点,AM?4,AN?3,且?MAN?60?,则AB的长是.

4、小明将1,2,3,…,n这n个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示输入(n?1)个数,且平均值为30.75,假设这(n?1)个数输入无误,则漏输入的一个数是 .

三、(本大题满分20分)

解方程x2?|2x?1|?2?0

D N C M A

四、(本大题满分25分)

如图,圆内接四边形ABCD中,CB?CD. 求证:CA2?CB2?AB?AD

D C B

五、(本大题满分25分)

已知二次函数y?ax2?bx?c和一次函数y??bx,其中a、b、c满足a?b?c,a?b?c?0.?a,b,c?R?.

(1)求证:两函数的图象有两个不同的交点A、B;

(2)过(1)中的两点A、B分别作x轴的垂线,垂足为A1、B1.求线段A1B1的长的取值范围。

2013年全国初中数学联赛(初三组)初试解答

一、 选择题(本大题满分42分,每小题7分)

1. 已知-1<x<0,则-x2,x,1

x的大小关系是( )

A.-x2<x<1

x B.1

x<-x2<x

C.x<-x2<1D.1

x x<x<-x2

解:由-1<x<0,得x+1>0,从而x+x2=x(x+1)<0,所以x<-x2, 又11-x2(1-x)(1+x)

x-x=x=x<0,所以1

x<x.

故选D.

2. 如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP, 过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP

=CQ=2,则正方形ABCD的面积为 A.6+

B.16 C.12+ D.32 解:如图,过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD,垂足分别E、F、G.易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌

Rt△FDP,所以FQ=FD=EP

此正方形ABCD

的边长为

2+(2+2=12+ 故选C. 3. 若实数a,b满足b2+a-2b+2=0,则a的取值范围是( )

A. a≤-1 B.a≥-1 C.a≤1 D.a≥1 解:将原式看作为关于b的一元二次方程,则其判别式

D=(-2)2-4创1(a+2) 0,

解得a≤-1.

故选A.

4.

如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°

,,BC=3-CD=6,则

AD边的长为( ) A

. B.

C

. D.解:过A和D

点向BC作垂线,垂足为M和N,

那么

CN=3,DN= MN=BM+BC+CN=6, 所以AD2=MN

2+(DN-AM)2=48,所以AD=.

故选B.

5. 方程1

x+1

y=3

7的正整数解(x,y)的组数是( )

A.0 B.1 C.3 D.5 解:不妨设x?y0,则1132

x£y,所以7£y,解得y£4.

又显然y33,即3#y4.经验证:y=3,y=4均不符合条件. 所以,符合条件的解的组数为0

组.故答案选A. 为因

xyzx2y2z2

++=1,则++6. 已知实数x,y,z满足的值是( ) y+zz+xx+yy+zz+xx+y

A.-1 C.1

xyz++=-3 解:显然x+y+z 0,否则y+zz+xx+y

由已知得(xyz++)(x+y+z)=x+y+z y+zz+xx+y B.0 D.2

x2y2z2

+x++y++z=x+y+z 即y+zz+xx+y

x2y2z2

=0. ++所以y+zz+xx+y

故选B.

二、 填空题(本大题满分28分,每小题7分)

x表示x的正约数个数,则③×④÷⑥等于 . 1. x是正整数,○

33.故填. 22

2. 草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛

在60天内可以吃完这片青草,则20头牛吃完这片青草需要的天数是 .

解:设草原上原有草量为a,每天长出量为b,并设20头牛在x天内可以吃完这片青草. 因为一头牛一天的吃草量相等,根据题意可得方程组 解:③=2,④=3,⑥=4,所以③×④÷⑥=a+24ba+60ba+bx. ==70创24306020x

由a+24ba+60b得a=480b. =70创243060

a+60ba+bx3480+x中,得b==b, 30′6020x1020x代入

解得x=96.

故填96.

3. 如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是BC、DC

的中点,AM=4,AN=3,且?MAN60 ,则AB的长

是 .

解:延长AM交DC的延长线于F,则△AMB≌△FMC.

则CF=AB,则NF=

则AH=3 AB,过N作NH垂直AF于H,2313,

=2213HF=2?4AN=

,NH=22

NF=214. 7.所以AB=NF=33

故填14. 3

4. 小明将1,2,3,…,n这n个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示输

入(n-1)个数,且平均值为30.75,假设这(n-1)个数输入无误,则漏输入的一个数是 .

解:依题意得1+2++n?30.75(n1)?23++n,

nn+2所以#30.75,即59.5#n61.5,所以n=60或61. 22

因为30.75(n-1)是整数,所以n=61.

所以漏输入的数为

故填46.

三、 61′62-30.75?60246. (本大题满分20分)

解方程x2-|2x-1|-2=0.

1解:当x3时,原方程可化为x2-(2x-1)-2=

0, 2

解得x

1=1+x2=1-

1又因为x2=1-,故应舍去. ···································································· 10分 2

当x<1时,原方程可化为x2-(-2x+1)-2=0, 2

解得x3=-3,x4=1.

1又因为x4=1>

,故应舍去. 2

所以原方程的解为x=1+

四、 和x=-3. ···························································· 20分 (本大题满分25分)

如图,圆内接四边形ABCD中,CB=CD,

求证:CA2-CB2=AB AD; 证明:连结BD、AC交于点E,则

?BAE CAD,?ABE ACD,

所以△ABE∽△ACD, ·························································································· 5分 所以ABAC, =AEAD

所以AB?ADAC AE. ······················································································ 10分 又?CBE CAB,?BCE ACB,

B, ·所以△CBE∽△CA························································································· 15分

所以CBCA, =CECB

所以CB2=CA CE, ····························································································· 20分 所以CB2+AB?ADCA?CECA?AECA2,

所以CA2-CB2=AB AD. ·················································································· 25分

五、 (本大题满分25分)

已知二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=-bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0.(a,b,c?R).

(1)求证:两函数的图象有两个不同的交点A、B;

(2)过(1)中的两点A、B分别作x轴的垂线,垂足为A1、B1.求线段A1B1的长的取值范围.

ì?y=ax2+bx+c?(1)证明:由í消去y得ax2+2bx+c=0, ???y=-bx

D=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c232········ 5分 )+c]. ·24∵a+b+c=0,a>b>c,

∴a>0,c<0. 3∴c2>0, 4

∴D>0,即两函数的图象有两个不同的交点. ·················································· 10分

(2)解:设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2,

则x1+x2=-2b,x1x2=c. ·················································································· 15分 aa

|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

2b24c4b2-4ac4(-a-c)2-4acc2cc123 =(-)-===4[()++1]=4[(+)+].aaa24aaa2a2

····················································································································· 20分 ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴a>-a-c>c,解得-2<c1<-. a2

∴3<|A1B1|2<

12|A

1B1|<························································ 25分

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