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M09PA02初中数学竞赛专题选讲-------待定系数法 2

发布时间:2014-05-31 23:31:47  

第二讲:初中数学竞赛专题选讲-------待定系数法

【知识要点】

1、 多项式恒等的定义:设f(x) 和g(x)是含相同变量x的两个多项式,f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x

在取值范围内 ,不论用什么实数值代入左右的两边,等式总是成立的.

符号“≡”读作“恒等于”,也可以用等号表示恒等式. 例如:

(x+3)2=x2+6x+9, 5x2-6x+1=(5x-1)(x-1),

x3-39x-70=(x+2)(x+5)(x-7).

都是恒等式.

根据恒等式定义,可求恒等式中的待定系数的值. 例如:

已知:恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x-2).

求:①a+b+c ; ②a-b+c.

解:①以x=1, 代入等式的左右两边,得a+b+c=-4.

②以x=-1,代入等式的左右两边,得a-b+c=0.

2、恒等式的性质:如果两个多项式恒等,则左右两边同类项的系数相等.

-- 即 如果 a0xn+a1xn1+??+an-1x+an= b0xn+b1xn1+??+bn-1x+bn

那么 a0=b0 , a1=b1, ?? , an-1=bn-1 , an=bn.

上例中又解: ∵ax2+bx+c=2x2-2x-4.

∴a=2, b=-2, c=-4.

∴a+b+c=-4, a-b+c=0.

3、 待定系数法:就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式,然后根据恒等式定义和性质,确定待定系数的值.

【经典例题】

x2?x?2ABC例1、 已知: 求:A,B,C的值. ???x(x?3)(x?2)xx?3x?2

例2、把多项式x3-x2+2x+2表示为关于x-1的降幂排列形式.

例3、已知:4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式. 求: a和b的值.

例4、推导一元三次方程根与系数的关系:设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1, x2, x3.

例5、已知:x3+px+q 能被(x-a)2整除. 求证:4p3+27q2=0.

例6、已知:f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2+25的因式,也是q (x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求:f (1)的值.

【随堂练习】

1. 已知 2x?3ab??. 求a, b的值. x2?6x?8x?2x?4

2. 已知: x4—6x3+13x2-12x+4是完全平方式.求:这个代数式的算术平方根.

3. 已知:ax3+bx2+cx+d 能被x2+p整除.求证:ad=bc.

4. 已知:x3-9x2+25x+13=a(x+1)(x-2)(x-3)

=b(x-1)(x-2)(x-3)

=c(x-1)(x+1)(x-3)

=d(x-1)(x+1)(x-2).

求:a+b+c+d的值.

5. 试用待定系数法,证明一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理).

【课后强化】

1、用x-2的各次幂表示3x3-10x2+13.

2、求下列展开式:

① (x+y)6; ② (a+b+c)3.

3、已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, 若S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3.则S等于(

(A) (x-2)4 . (B) (x-1)4 . (C) x4 . (D) (x+1)4.

4、 已知:ax3?5x2?bx?c

2x3?10x2?3x?4的值是恒为常数求:a, b, c的值.

)

例题与练习题参考答案

x2?x?2ABCb) 已知: ???x(x?3)(x?2)xx?3x?2

求:A,B,C的值.

解:去分母,得

x2-x+2=A(x-3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-3).

根据恒等式定义(选择x的适当值,可直接求出A,B,C的值),

当x=0时, 2=-6A. ∴A=-1. 3

8当x=3时, 8=15B. ∴B=. 15

4当x=-2时, 8=10C. ∴C=. 5

本题也可以把等号右边的代数式,整理成为关于x的二次三项式,然后用恒等式性质:“左右两边同类项的系数相等”,列出方程组来解.(见下例).

c) 把多项式x3-x2+2x+2表示为关于x-1的降幂排列形式.

解:用待定系数法:

设x3-x2+2x+2=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d

把右边展开,合并同类项(把同类项对齐),

得 x3-x2+2x+2=ax3-3ax2+3ax-a

+bx2-2bx+b

+cx-c

+d

用恒等式的性质,比较同类项系数,

?a?1?a?1??3a?b??1?b?2??得? 解这个方程组,得?

?c?3?3a?2b?c?2

???d?4??a?b?c?d?2

∴x3-x2+2x+2=(x-1)3+2(x-1)2+3(x-1)+4.

本题也可用换元法:

设x-1=y, 那么x=y+1.

把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式,最后再把y换成x -1.

d) 已知:4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.

求: a和b的值.

解:设4x4+ax3+13x2+bx+1=(2x2+mx±1)2(设待定的系数,要尽可能少.)

右边展开,合并同类项,得

4x4+ax3+13x2+bx+1=4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.

比较左右两边同类项系数,得

?a?4m?a?4m?2?2方程组?m?4?13; 或?m?4?13. ?b?2m?b??2m??

??a?12?a??12??a?4? a?-4解得?. 或?或?或?b?6b??6????b??2??b?2e) 推导一元三次方程根与系数的关系.

解:设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1, x2, x3.

原方程化为x3+b2cdx?x??0. aaa

∵x1, x2, x3是方程的三个根.

∴x3+b2cdx?x??(x-x1) (x-x2) (x-x3). aaa

把右边展开,合并同类项,得

x3+b2cdx?x??=x3-( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3. aaa

比较左右同类项的系数,得

一元三次方程根与系数的关系是:

x1+x2+x3=-c b d, x1x2+x1x3+x2x3=, x1x2x3=-. aaa

f) 已知:x3+px+q 能被(x-a)2整除.

求证:4p3+27q2=0.

证明:设x3+px+q=(x-a)2(x+b).

x3+px+q=x3+(b-2a)x2+(a2-2ab)x+a2b.

?b?2a?0①?2?a?2ab?p②

?a2b?q③?

2??p??3a 由①得b=2a, 代入②和③得 ? 3??q?2a

∴4p3+27q2=4(-3a2)3+27(2a3)2

=4×(-27a6)+27×(4a6)=0. (证毕).

g) 已知:f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2+25的因式,也是q (x)=3x4+4x2+28x+5

的因式.

求:f (1)的值.

解:∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.

为了消去四次项,设g (x)-q (x)=kf (x), (k为正整数).

即14x2-28x+70=k (x2+bx+c)

14(x2-2x+5)=k (x2+bx+c)

∴k=14, b=-2, c=5.

即f (x)=x2-2x+5.

∴f (1)=4 .

h) 用待定系数法,求(x+y)5 的展开式

解:∵展开式是五次齐次对称式,

∴可设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a, b, c是待定系数.) 当 x=1,y=0时, 得a=1;

当 x=1,y=1时, 得2a+2b+2c=32,即a+b+c=16

当 x=-1,y=2时, 得31a-14b+4c=1.

?a?1?得方程组?a?b?c?16

?31a?14b?4c?1?

?a?1?解方程组,得?b?5

?c?10?

∴(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.

1. a=-711,b=- 22

2. A=1,B=2,C=3

3. ± (x2-3x+2)

4.由 (x2+p)(ax+d)? p

5. 1

7. 3(x-2)3+8(x-2)2-4(x-2)-3

8. 先整理为关于x的二次三项式,并把常数项分解因式,再用待定系数法。

9. ①(x+y +1)(x+2y+3) ②(x2+x+1)(x2-x+1987)

10. ①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.

②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.

11. (A)

12.(C)

13. a=1, b=1.5, c=-2.

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