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2013-中考-数学-试题+解析-word-杭州

发布时间:2014-06-02 01:42:56  

2 013年浙江省杭州市中考数学试卷

一.选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.

1.(2013杭州)下列“表情图”中,属于轴对称图形的是( )

A. B. C. D.

考点:轴对称图形.

分析:根据轴对称的定义,结合各选项进行判断即可.

解答:解:A.不是轴对称图形,故本选项错误;

B.不是轴对称图形,故本选项错误;

C.不是轴对称图形,故本选项错误;

D.是轴对称图形,故本选项正确;

故选D.

点评:本题考查了轴对称图形的知识,判断轴对称的关键寻找对称轴,属于基础题.

2.(2013杭州)下列计算正确的是( )

3253262 A.m+m=m B.mm=m C.(1﹣m)(1+m)=m﹣1

D.

考点:平方差公式;合并同类项;同底数幂的乘法;分式的基本性质.

分析:根据同类项的定义,以及同底数的幂的乘法法则,平方差公式,分式的基本性质即可判断.

解答:解:A.不是同类项,不能合并,故选项错误;

B.mm=m,故选项错误;

2C.(1﹣m)(1+m)=1﹣m,选项错误;

D.正确.

故选D.

点评:本题考查了同类项的定义,以及同底数的幂的乘法法则,平方差公式,分式的基本性质,理解平方差公式的结构是关键.

3.(2013杭州)在?ABCD中,下列结论一定正确的是( )

325

A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.∠A≠∠C

考点:平行四边形的性质.

分析:由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,即可证得∠A+∠B=180°.

解答:解:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,

∴∠A+∠B=180°.

故选B.

点评:此题考查了平行四边形的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.

4.(2013杭州)若a+b=3,a﹣b=7,则ab=( )

A.﹣10 B.﹣40 C.10 D.40

考点:完全平方公式.

专题:计算题.

分析:联立已知两方程求出a与b的值,即可求出ab的值.

解答:解:联立得:,

解得:a=5,b=﹣2,

则ab=﹣10.

故选A.

点评:此题考查了解二元一次方程组,求出a与b的值是解本题的关键.

5.(2013杭州)根据2008~2012年杭州市实现地区生产总值(简称GDP,单位:亿元)统计图所提供的信息,下列判断正确的是( )

A.2010~2012年杭州市每年GDP增长率相同

B.2012年杭州市的GDP比2008年翻一番

C.2010年杭州市的GDP未达到5500亿元

D.2008~2012年杭州市的GDP逐年增长

考点:条形统计图.

分析:根据条形统计图可以算2010年~2011年GDP增长率,2011年~2012年GDP增长率,进行比较可得A的正误;根据统计图可以大约得到2012年和2008年GDP,可判断出B的正误;根据条形统计图可得2010年杭州市的GDP,可判断出C的正误,根据条形统计图可直接得到2008~2012年杭州市的GDP逐年增长.

解答:解:A.2010年~2011年GDP增长率约为:增长率约为=,增长率不同,故此选项错误; =,2011年~2012年GDPB.2012年杭州市的GDP约为7900,2008年GDP约为4900,故此选项错误;

C.2010年杭州市的GDP超过到5500亿元,故此选项错误;

D.2008~2012年杭州市的GDP逐年增长,故此选项正确,

故选:D.

点评:本题考查的是条形统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

6.(2013杭州)如图,设k=(a>b>0),则有( )

A.k>2 B.1<k<2 C. D.

考点:分式的乘除法.

专题:计算题.

分析:分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积,然后计算比值即可. 解答:解:甲图中阴影部分面积为a﹣b,

乙图中阴影部分面积为a(a﹣b),

则k=∵a>b>0,

∴0<<1,

故选B.

点评:本题考查了分式的乘除法,会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键.

7.(2013杭州)在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是( )

A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直

B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点

C.若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点 D.若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径

考点:直线与圆的位置关系;命题与定理.

分析:根据直线与圆的位置关系进行判断即可.

解答:解:A.圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时,两条直线可能垂直,故本选项错误;

B.当两圆经过两条直线的交点时,圆与两条直线有三个交点;

C.两条平行弦所在直线没有交点,故本选项正确;

D.两条平行弦之间的距离一定小于直径,但不一定小于半径,故本选项错误, 故选C.

点评:本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理,解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系.

8.(2013杭州)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积是( )

===1+, 22

A. B. C. D.

考点:由三视图判断几何体.

分析:由三视图可看出:该几何体是﹣个正六棱柱,其中底面正六边形的边长为6,高是2.根据正六棱柱的体积=底面积×高即可求解.

解答:解:由三视图可看出:该几何体是﹣个正六棱柱,其中底面正六边形的边长为6,高是2,

所以该几何体的体积=6××6×2=1082.

故选C.

点评:本题考查了由三视图求原几何体的体积,正确恢复原几何体是解决问题的关键.

9.(2013杭州)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,则斜边上的高等于( )

A. B. C. D.

考点:解直角三角形.

专题:计算题.

分析:在直角三角形ABC中,由AB与sinA的值,求出BC的长,根据勾股定理求出AC的长,根据面积法求出CD的长,即为斜边上的高.

解答:解:根据题意画出图形,如图所示,

在Rt△ABC中,AB=4,sinA=,

∴BC=ABsinA=2.4,

根据勾股定理得:AC=

∵S△ABC=AC?BC=AB?CD,

∴CD=

故选

B =. =3.2,

点评:此题考查了解直角三角形,涉及的知识有:锐角三角函数定义,勾股定理,以及三角形的面积求法,熟练掌握定理及法则是解本题的关键.

10.(2013杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x和y=

①如果

②如果,那么0<a<1; ,那么a>1; 2

③如果

④如果

则( )

,那么﹣1<a<0; 时,那么a<﹣1.

A.正确的命题是①④ B.错误的命题是②③④ C.正确的命题是①② D.错误的命题只有③

考点:二次函数与不等式(组);命题与定理.

分析:先确定出三函数图象的交点坐标为(1,1),再根据二次函数与不等式组的关系求解即可.

解答:解:易求x=1时,三个函数的函数值都是1,

所以,交点坐标为(1,1),

根据对称性,y=x和y=在第三象限的交点坐标为(﹣1,﹣1),

①如果

②如果

③如果

④如果,那么0<a<1正确; ,那么a>1或﹣1<a<0,故本小题错误; ,那么a值不存在,故本小题错误; 时,那么a<﹣1正确.

综上所述,正确的命题是①④.

故选A.

点评:本题考查了二次函数与不等式组的关系,命题与定理,求出两交点的坐标,并准确识图是解题的关键.

二.填空题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案

211.(2013杭州)3×3.14+3×(﹣9.42).

考点:有理数的混合运算.

2分析:根据3×3.14+3×(﹣9.42)=3×9.42﹣3×(﹣9.42)即可求解.

解答:解:原式=3×9.42﹣3×(﹣9.42)=0.

故答案是:0.

点评:本题考查了有理数的混合运算,理解运算顺序是关键.

12.(2013杭州)把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为

考点:实数大小比较.

专题:计算题.

分析:先分别得到7的平方根和立方根,然后比较大小.

解答:解:7的平方根为﹣,;7的立方根为,

<<. 所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣故答案为:﹣<<.

点评:本题考查了实数大小比较:正数大于0,负数小于0;负数的绝对值越大,这个数越小.

13.(2013杭州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sinA=

③tanA=;④tanB=;②cosB=;,其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号) 考点:特殊角的三角函数值;含30度角的直角三角形.

专题:探究型.

分析:先根据题意画出图形,再由直角三角形的性质求出各角的度数,由特殊角的三角函数值即可得出结论.

解答:解:如图所示:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,

∴sinA==,故①错误;

∴∠A=30°,

∴∠B=60°,

∴cosB=cos60°=,故②正确;

∵∠A=30°,

∴tanA=tan30°=,故③正确;

∵∠B=60°,

∴tanB=tan60°=,故④正确.

故答案为:③③④.

点评:本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.

14.(2013杭州)杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表(单位:分),设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为杭州市某4所高中最低录取分数线统计表 ,,则= 分

考点:算术平均数.

分析:先算出2011年的平均最低录取分数线和2012年的平均最低录取分数线,再进行相减即可.

解答:解:2011年的平均最低录取分数线

2012年的平均最低录取分数线

则=(438+435+435+435)÷4=435.75(分), =(442+442+439+439)÷4=440.5(分), =440.5﹣435.75=4.75(分);

故答案为:4.75.

点评:此题考查了算术平均数,掌握平均数的计算公式是解题的关键,是一道基础题,比较简单.

15.(2013杭州)四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,且BC=CD=2,AB=3,把梯形ABCD分别绕直线AB,CD旋转一周,所得几何体的表面积分别为S1,S2,则|S1﹣S2|= (平方单位)

考点:圆锥的计算;点、线、面、体;圆柱的计算.

分析:梯形ABCD分别绕直线AB,CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差.

解答:解:AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是:2π×2×3=12π;

AC旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是:2π×2×2=8π,

则|S1﹣S2|=4π.

故答案是:4π.

点评:本题考查了图形的旋转,理解梯形ABCD分别绕直线AB,CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键.

16.(2013杭州)射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值 (单位:秒)

考点:切线的性质;等边三角形的性质.

专题:分类讨论.

分析:求出AB=AC=BC=4cm,MN=AC=2cm,∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°,分为三种情况:画出图形,结合图形求出即可;

解答:解:∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm,∠A=∠C=∠B=60°,

∵QN∥AC,AM=BM.

∴N为BC中点,

∴MN=AC=2cm,∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°,

分为三种情况:①如图1,

当⊙P切AB于M′时,连接PM′,

则PM′=cm,∠PM′M=90°,

∵∠PMM′=∠BMN=60°,

∴M′M=1cm,PM=2MM′=2cm,

∴QP=4cm﹣2cm=2cm,

即t=2;

②如图2,

当⊙P于AC切于A点时,连接PA,

则∠CAP=∠APM=90°,∠PMA=∠BMN=60°,AP=cm,

∴PM=1cm,

∴QP=4cm﹣1cm=3cm,

即t=3,

当当⊙P于AC切于C点时,连接PC,

则∠CP′N=∠ACP′=90°,∠P′NC=∠BNM=60°,CP′=cm,

∴P′N=1cm,

∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm,

即当3≤t≤7时,⊙P和AC边相切;

③如图1,

当⊙P切BC于N′时,连接PN′3

则PN′=cm,∠PM\N′N=90°,

∵∠PNN′=∠BNM=60°,

∴N′N=1cm,PN=2NN′=2cm,

∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm,

即t=8;

故答案为:t=2或3≤t≤7或t=8.

点评:本题考查了等边三角形的性质,平行线的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,切线的性质的应用,主要考查学生综合运用定理进行计算的能力,注意要进行分类讨论啊.

三.解答题(本题有7个小题,共66分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.

17.(2013杭州)如图,四边形ABCD是矩形,用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法,保留作图痕迹).连结QD,在新图形中,你发现了什么?请写出一条.

考点:作图—复杂作图.

分析:根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置,进而利用垂直平分线的作法得出答案即可.

解答:解:如图所示:发现:DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等.

点评:此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识,熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键.

18.(2013杭州)当x满足条件

根.

考点:解一元二次方程-公式法;解一元一次不等式组.

分析:通过解一元一次方程组求得2<x<4.然后利用求根公式x=

方程程x﹣2x﹣4=0的根,由x的取值范围来取舍该方程的根.

解答:解:由求得

2时,求出方程x﹣2x﹣4=0的2求得

则2<x<4.

2解方程x﹣2x﹣4=0可得x1=1+,x2=1﹣,

∵2<<3,

∴3<1+<4,符合题意

∴x=1+.

点评:本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法,解一元一次不等式组.要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解.

19.(2013杭州)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交CD于点E,F,DE=CF.

求证:△GAB是等腰三角形.

考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.

专题:证明题.

分析:由在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,DE=CF,利用SAS,易证得△ADE≌△BCF,即可得∠DAE=∠CBF,则可得∠GAB=∠GBA,然后由等角对等边,证得:△GAB是等腰三角形. 解答:证明:∵在等腰梯形中ABCD中,AD=BC,

∴∠D=∠C,∠DAB=∠CBA,

在△ADE和△BCF中,

∴△ADE≌△BCF(SAS),

∴∠DAE=∠CBF,

∴∠GAB=∠GBA,

∴GA=GB,

即△GAB为等腰三角形.

点评:此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

220.(2013杭州)已知抛物线y1=ax+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点

O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2=x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.

考点:二次函数的性质;抛物线与x轴的交点.

专题:分类讨论.

分析:根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8,然后分①n=8时求出点A的坐标,然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标,再求出抛物线的对称轴解析式,然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围;②n=﹣8时求出点A的坐标,然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标,再求出抛物线的对称轴解析式,然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围.

解答:解:根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8.

分类讨论:①n=8时,易得A(﹣6,0)如图1,

∵抛物线经过点A、C,且与x轴交点A、B在原点的两侧,

∴抛物线开口向下,则a<0,

∵AB=16,且A(﹣6,0),

∴B(10,0),而A、B关于对称轴对称,

∴对称轴直线x==2,

要使y1随着x的增大而减小,则a<0,

∴x>2;

(2)n=﹣8时,易得A(6,0),如图2,

∵抛物线过A、C两点,且与x轴交点A,B在原点两侧,

∴抛物线开口向上,则a>0,

∵AB=16,且A(6,0),

∴B(﹣10,0),而A、B关于对称轴对称,

∴对称轴直线x==﹣2,

要使y1随着x的增大而减小,且a>0,

∴x<﹣2.

点评:本题考查了二次函数的性质,主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征,二次函数的增减性,难点在于要分情况讨论.

21.(2013杭州)某班有50位学生,每位学生都有一个序号,将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列,从中任意抽取1张卡片

(1)在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率;

(2)若规定:取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数),则序号是k的倍数或能整除k(不重复计数)的学生能参加某项活动,这一规定是否公平?请说明理由;

(3)请你设计一个规定,能公平地选出10位学生参加某项活动,并说明你的规定是符合要求的.

考点:游戏公平性.

分析:(1)由在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),直接利用概率公式求解即可求得答案;

(2)由无论k取何值,都能被1整除,则序号为1的学生被抽中的概率为1,即100%,而很明显抽到其他序号学生概率不为100%.可知此游戏不公平;

(3)可设计为:先抽出一张,记下数字,然后放回.若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复,则不记数,放回,重新抽取.不断重复,直至抽满10个不同的数字为止.

解答:解:(1)∵在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),

∴是20倍数或者能整除20的数有7个,

则取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为:;

(2)不公平,

∵无论k取何值,都能被1整除,则序号为1的学生被抽中的概率为1,即100%, 而很明显抽到其他序号学生概率不为100%.

∴不公平;

(3)先抽出一张,记下数字,然后放回.若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复,则不记数,放回,重新抽取.不断重复,直至抽满10个不同的数字为止. (为保证每个数字每次被抽到的概率都是)

点评:本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.

22.(2013杭州)(1)先求解下列两题:①如图①,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度数;

②如图②,在直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,AC∥x轴,点B,C的横坐标都是3,且BC=2,点D在AC上,且横坐标为1,若反比例函数

求k的值.

(2)解题后,你发现以上两小题有什么共同点?请简单地写出.

的图象经过点B,D,

考点:等腰三角形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.

分析:(1)①根据等边对等角可得∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,然后用∠A表示出∠EDM,计算即可求解;

②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标,再表示出点C的坐标,然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同,从而表示出点D的坐标,再代入反比例函数解析式进行计算即可得解.

(2)从数学思想上考虑解答.

解答:解:(1)①∵AB=BC=CD=DE,

∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,

根据三角形的外角性质,∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM, 又∵∠EDM=84°,

∴∠A+3∠A=84°,

解得,∠A=21°;

②∵点B在反比例函数y=图象上,点B,C的横坐标都是3,

∴点B(3,),

∵BC=3,

∴点C(3,+2),

∵AC∥x轴,点D在AC上,且横坐标为1,

∴A(1,+2),

∵点A也在反比例函数图象上, ∴+2=k,

解得,k=3;

(2)用已知的量通过关系去表达未知的量,使用转换的思维和方法.(开放题)

点评:本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,以及反比例函数图象上点的坐标特征,是基础题.

23.(2013杭州)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为S1.

(1)求证:∠APE=∠CFP;

(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,.

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.

考点:四边形综合题.

分析:(1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论;

(2)本问关键是求出y与x之间的函数解析式.

①首先分别用x表示出S1与S2,然后计算出y与x的函数解析式.这是一个二次函数,求出其最大值;

②注意中心对称、轴对称的几何性质.

解答:(1)证明:∵∠EPF=45°,

∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°;

而在△PFC中,由于PF为正方形ABCD的对角线,则∠PCF=45°,

则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°,

∴∠APE=∠CFP.

(2)解:①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,

∴△APE∽△CPF,则.

AB=, 而在正方形ABCD中,AC为对角线,则AC=又∵P为对称中心,则AP=CP=,

∴AE=

==.

如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,

P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2.

S△APE

==×2×=,

∵阴影部分关于直线AC轴对称,

∴△APE与△APN也关于直线AC对称,

则S四边形AEPN=2S△APE=

而S2=2S△PFC=2×; =2x,

﹣2x, ∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣

y=

==

+﹣1.

∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,

∴2≤x≤4. 令=a,则y=﹣8a+8a﹣1,当a=2=,即x=2时,y取得最大值.

而x=2在x的取值范围内,代入x=2,则y最大=4﹣2﹣1=1.

∴y关于x的函数解析式为:

y=+﹣1(2≤x≤4),y的最大值为1.

②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,

而此两块图形也关于直线AC成轴对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称, 则EB=BF,即AE=FC, ∴=x,解得x=,

代入x=,得y=﹣2.

点评:本题是代数几何综合题,考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换(轴对称与中心对称)、图形面积的计算等知识点,涉及的考点较多,有一定的难度.本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式,在计算几何图形面积时涉及大量的计算,需要细心计算避免出错.

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