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奥数应用题讲座

发布时间:2014-06-02 01:46:16  

小学奥数应用题培训

一.小学奥数常用解题方法

二、小学奥数应用题类型及分析

一.小学奥数常用解题方法

数学问题千变万化,但变化中又存在着许多规律性的东西,就是解题的科学方法。学生学过的知识很快就会忘记,但铭记于头脑中的数学思想方法却长期在他们的头脑中发挥着重要作用。为此,奥数的培训应着重于思想方法的培训,每种方法之间并不是孤立的,没有联系的,而是紧密相连、互为补充。当然,吃透原理,是学好奥数的根本保证;掌握方法,是攻克难题的有力武器。只有弄清原理,才能思路清晰、从容答题;只有掌握方法,才能融会贯通、举一反三。

奥数常用的解题方法有:

1.直观画图法:解奥数时,如果能合理地、科学的、巧妙地借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来,将抽象的数量关系形象化,可使同学们容易搞清数量关系,沟通“已知”和“未知”的联系,抓住问题的本质,迅速解题。

例1:A、B、C、D、E五人进行乒乓球单循环赛,比赛进行了一段时间后,已赛场次做了一次统计:A赛了4场,B赛了3场,C赛了2场,D赛了1场。这时E赛了几场?

例2:一捆电线,第一次用去全长的一半多3米。第二次用去余下 1

的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米。这捆电线原有多少米?

2.倒推法:从题目所述的最后结果出发,利用已知条件一步一步向前倒推,直到题目中的问题得到解决。

例1:书架有上、中、下三层,一共放了192本书,现在从上层取出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层,最后从下层取出与上层剩下本书同样多的书放到上层,这时三层所放的书的本数相同。原来书架上层有多少本书?

例2:小芳每分钟吹一次肥皂泡,每次恰好吹出100个。肥皂泡吹出以后,经过一分钟有一半破了;经过2分钟还有1/20没破;经过2.5分钟全部都破了。小芳吹完100次时,没有破的肥皂泡共有多少个?

3.枚举法:奥数题中常常会出现一些数量关系非常特殊的题目,用我们小学的方法很难列式解答,有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法,根据题目的要求,一一列举基本符合要求的数据,然后从中挑选出符合要求的答案。

例:在所有三位数中,各位数字之和是19的倍数的共有( )个。

4.正难则反:有些数学问题如果你从条件出发正面考虑有困难,那么你可以改变思考方向,从结果或问题的反面出发来考虑问题,使问题得以解决。

例1:除本身之外,合数7854321的最大因数是多少?

例2:设1,3,9,27,81,243时6个给定的数,从这6个数中每次 2

取一个,或取几个不同的数(每个数只能取一次)求和,可以得到一个新数,如果把他们按从小到大的顺序依次排列起来是1,3,4,9,10,12,…那么第60个数是多少?

5.巧妙转化:在解奥数题时,经常要提醒自己,遇到的新问题能否转化成旧问题解决,化新为旧,透过表面,抓住问题的实质,将问题转化为自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。

例:学生在操场上列队做操,只知人数在90至110之间,如果排成3列不多也不少;如果排成5列则少2人;如果排成7列则少4人。一共有多少个学生?

6.整体把握:有些奥数题,如果从细节上考虑,很繁杂,也没有必要,如果能从整体上把握,宏观上考虑,通过研究问题的整体形势、整体结构、局部与整体的内在联系,来求得问题的解答。

例:甲乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是10千米。甲每小时走3千米,乙每小时走2千米,甲带着一只狗,狗每小时走7千米,这只狗同甲一起出发,碰到乙的时候它就掉头往甲这边走,碰到甲时它又往乙这边走,直到两人碰头,这只狗一共走了多少千米?

二、小学奥数应用题类型及分析

(一)典型应用题 根据应用题的结构形式及数量关系,用特定的方法(或公式)来解答的应用题叫典型应用题。常见的有植树问题、和差倍问题(即和倍问题、差倍问题、和差问题)、年龄问题、鸡兔同笼问题、盈亏问题、 3

还原问题、牛吃草问题、经济问题等。

1.【植树问题】

(1)不封闭线路的植树问题:

间隔数+1=棵数;(两端植树)

路长÷间隔长+1=棵数。

或 间隔数-1=棵数;(两端不植)

路长÷间隔长-1=棵数;

路长÷间隔数=每个间隔长;

每个间隔长×间隔数=路长。

(2)封闭线路的植树问题:

路长÷间隔数=棵数;

路长÷间隔数=路长÷棵数=每个间隔长;

每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。

2.【和差倍问题】

和差倍问题是由和差问题、和倍问题、差倍问题三类问题组成的。和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系,求大小两个数的应用题,一般可应用公式:数量和÷对应的倍数和 =“1”倍量;差倍问题就是已知大小两个数的差和它们的倍数关系,求大小两个数的应用题,一般可应用公式:数量差÷对应的倍数差=“1”倍量;和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差,求大小两个数的应用题,一般可应用公式:大数=(数量和+数量差)÷2,小数=(数量和-数量差)÷2。为了帮助我们理解题意,弄清题目中两种量彼此间的关系,常采 4

用画线段图的方法以线段的相对长度来表示两种量间的关系,以便于找到解题的途径。

例:两根同样长的蜡烛,第一根烧掉15厘米,第二根烧掉3厘米。剩下的长度,第二根是第一根的4倍。蜡烛原来长多少厘米?

解:这是差倍问题,因为两根蜡烛同样长,第一根比第二根多烧掉12厘米,则第二根剩下的比第一根多12厘米,(15-3)÷(4-1)=4(厘米) 4+15=19(厘米)。

3.【年龄问题】 基本的年龄问题可以说是和差倍问题生活化的典型应用。同时,年龄问题也有其鲜明的特点:(1)两个人的年龄差始终保持不变,(2)两个人的年龄随着岁月的变化而增加或减少同一个自然数,(3)两个人的年龄的倍数关系随着岁月的变化而不断变化,年龄增大,倍数变小。解决年龄问题,关键就是要抓住以上几点。

例1:哥哥两年后的年龄是弟弟年龄的2倍,今年哥哥比弟弟大5岁,那么今年弟弟多少岁?

解:由于两人之间的年龄差不变,在2年之后哥哥仍然比弟弟大5岁,那时哥哥是弟弟年龄的2倍,这就变成了一道差倍问题,也就是说弟弟的年龄在2年后是5÷(2-1)=5(岁),所以今年弟弟5-2=3(岁)。

例2:今年,爷爷的年龄是小明的6倍;几年之后,爷爷的年龄变成小明的5倍;又过了几年以后,爷爷的年龄又变成了小明的4倍;求爷爷今年是多少岁?

分析:爷爷的年龄和小明的年龄的差永远都是不变的;那么刚开 5

始时,爷爷的年龄比小明大(6-1)倍,后来又大(5-1)倍,再后来大(4-1)倍;因此,爷爷和小明的年龄之差是3、4、5的公倍数,也就是说是60的倍数,这样,按照常理,爷爷应该比小明大60÷(6-1)=12(岁)。爷爷今年12×6=72(岁)。

4.【鸡兔同笼问题】

鸡兔同笼问题常用假设法求解,先假设一个未知数是题中给出的已知量,推算结果与题中对应数不符,再加以调整即可得到正确答案。

例1:正方形客厅边长12米,若正中铺一块正方形纯毛毯,外围铺化纤地毯,共需费用22455元。已知纯毛地毯每平方米250元,化纤地毯每平方米35元,求出铺在外围的化纤地毯的宽度是多少米?(第6届华杯赛决赛题)

解:纯毛地毯的面积:(22455-12×12×35)÷(250-35)=81(平方米) 则纯毛地毯的边长是9米,化纤地毯宽度是(12-9)÷2=1.5(平方米). 例2:蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现在有这三种小虫共25只,总共有170条腿和23对翅膀,那么每种小虫各有多少只?

解:假设蜘蛛也是6条腿:(170-6×25)÷(8-6)=10(只)…蜘蛛

蜻蜓和蝉共有25-10=15(只),又假设这25只全是蝉,则蜻蜓有:(23-1×15)÷(2-1)=8(只),蝉有15-8=7(只)。

说明:在“鸡兔同笼”问题中,如果两种小动物的腿数(或翅膀 6

5.【盈亏问题】 把一定数量物品平均分给固定的对象会产生多余或不足的现象。盈亏问题包括分配结果有盈有亏、都盈、都亏等几种类型。盈亏问题常用比较法解题。

(1)一次有余(盈),一次不够(亏),可用公式:

(盈+亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。

例如,“小朋友分桃子,每人10个少9个,每人8个多7个。问:有多少个小朋友和多少个桃子?”

解:(7+9)÷(10-8)=16÷2=8(个)………………人数 10×8-9=80-9=71(个)………………………桃子

或8×8+7=71(个)

(2)两次都有余(盈),可用公式:

(大盈-小盈)÷(两次每人分配数的差)=人数。

例如:“士兵背子弹作行军训练,每人背45发,多680发;若每人背50发,则还多200发。问:有士兵多少人?有子弹多少发?” 解:(680-200)÷(50-45)=480÷5=96(人)

45×96+680=5000(发) 或50×96+200=5000(发)

(3)两次都不够(亏),可用公式:

(大亏-小亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。

例如:“将一批本子发给学生,每人发10本,差90本;若每人发8本,则仍差8本。有多少学生和多少本本子?”

7

解(90-8)÷(10-8)=82÷2=41(人)

10×41-90=320(本)(答略)

(4)一次不够(亏),另一次刚好分完,可用公式:

亏÷(两次每人分配数的差)=人数。

(5)一次有余(盈),另一次刚好分完,可用公式:

盈÷(两次每人分配数的差)=人数。

例2:有一群小朋友分一堆苹果,如果每人分5个,就会剩下4个苹果,这时走了3个小朋友,那么每人分6个还会剩4个。问:原来一共有多少个苹果?

解:分析:对于“盈亏”问题,需要明确的是在人数不变的情况下,两种分配方案中盈(或亏)的数量。而在第二种情形中,“走了3个小朋友”使得人数发生了变化,必须先让他们回来才行,这样分配的结果就不是“还剩4个”了。

解:假设没有小朋友离开,那么每人分6个苹果的,苹果的个数就不够了,还差6×3-4=14(个)。利用盈亏问题的基本方法和公式,可得小朋友的人数:(14+4)÷(6-5)=18(人)。

苹果的总数是:18×5+4=94(个)。

说明:条件中看似两种情形都有剩余,但由于人数发生了变化,所以实际第二种情形中苹果不足,这也告诉我们一定要注意人数应该是不变的。

例3:幼儿园准备了很多梨和苹果,苹果总数是梨的4倍。每个小朋友分得9个苹果和2个梨后,还剩下了2个苹果和4个梨,那么 8

原来一共有多少个梨?

分析:题目中只给出了一种分配方案,只能利用“苹果总数是梨的4倍”再假想出另一种分配方案了。为了便于比较,假想第二种分法是每个小朋友分得8个苹果和2个梨,这样每个小朋友分得的梨的数量没有变化,应该还是剩下4个梨,而苹果总数是梨的4倍,所以剩下的苹果也是梨的4倍,有4×4=16(个)。

解:假设每个小朋友分得8个苹果和2个梨,则剩下16个苹果和4个梨,对比另一个条件:每个小朋友分得9个苹果,则剩下2个苹果,可得小朋友的人数是:(16-2)÷(9-8)=14(人)。

梨的数量是:14×2+4=32(个)。

说明:在这个例题中,我们假想了一种新的分配方案。

6.【 还原问题】

从题目所述的最后结果出发,利用已知条件一步一步向前倒推,直到题目中问题得到解决。

例1:书架有上、中、下三层,一共放了192本书,现在从上层取出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层,最后从下层取出与上层剩下本书同样多的书放到上层,这时三层所放的书的本数相同。原来书架上层有多少本书? 解:首先,各层最后的本书可求出来,是192÷3=64(本),然后用列表法倒推。

例2:吹泡机一次能吹出80个肥皂泡。每分钟吹一次,肥皂泡吹出之后经过1分钟有一半破了,经过2分钟还有1/20没破,经 9

过2.5分钟后全破了。吹泡机连续吹出100次后,没有破的肥皂泡有多少个?

解:因为一次吹的肥皂泡经过2.5分钟后会全部破掉,所以吹泡机吹完100次时,已经过了100分钟,前面所吹的大部分都破了,所以只要采用倒推法,考虑最后几次的情况就可以了。

80+80×1/2+80×1/20=124(个).

7.【牛吃草问题】

牛吃草问题 引自著名的牛顿问题。牧场上有若干头牛在吃草,由于牧草不是固定的,而是不断生长着的,解题时要计算新生草量和原有草量,这是关键。

每天新长的草量 = 两次吃草的数量的差÷天数的差

下面给出几例牛吃草及其相关问题.

例1:草场有一片均匀生长的草地,可供15头牛吃10天,或供25头牛吃5天,那么它可供30头牛吃几天?

【分析与解】 假设一头牛一天吃草量为1份,15头牛10天可以吃草(15×10)份,25头牛5天可以吃草(25×5)份,两种情况相差(10-5)天,15头牛或25头牛既吃了原有的草,又吃了10天或5天长出的新草。通过比较可以求出牧场每天新长草量及牧场原有的草量。

每天新长草量:(15×10-25×5)÷(10-5)=5(份)

牧场原有草量:150-5×10=100(份)或125-5×5=100(份)

每天长出的5份草可供5头牛吃,剩下的30-5=25头牛吃原有的100份草,即100÷(30-5)=4(天),也就是说这片草地可供30头牛吃4 10

天。

解题思路:(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃草的总量的差及吃的天数的差计算出来的;(2)在已知的两种情况中,任选一种,用这些牛吃的总草量减去这几天一共新长的草量就可以计算出原有的草量;(3)在所求的问题中,让几头牛专吃新长出的草,其余的牛吃原有的草,就可以计算出能吃几天。

此外,还有一些牛吃草问题的变形题,从字面上感受不出是牛吃草问题,但实际上是利用牛吃草问题的算理来解决问题的。这种题,往往是把“变化的量”看成是“生长的草”,把“原来的量”看成是“原有的草量”。比如:

例2:某车站检票前就有人排队,而且每分钟来的旅客人数一样多。同时开4个检票口,30分钟检完;同时开5个检票口,20分钟检完。如果同时开7个检票口,需要多少分钟检完?

解:旅客总数由两部分组成:一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客,另一部分是开始检票后新来的旅客。等候检票的人数在发生变化,“旅客”相当于“草”,“检票口”相当于“牛”,所以,可以用牛吃草问题的解法求解。

假设一个检票口一分钟检票的人数为1份,

每分钟新来的旅客:(4×30-5×20)÷(30-20)=2(份)

原有的旅客:30×4-30×2=60(份)或20×5-20×2=60(份) 同时打开7个检票口时, 让2个检票口专门通过新来的旅客,其余的检票口通过原来的旅客,需要:60÷(7-2)=12(分钟)。 11

例3:第一块地25公顷供20头牛吃50天,第二块第30公顷供23头牛吃60天,第三块地40公顷可供多少头牛吃80天?(三块地的每公顷原有草量都相同,新长草的速度也相同)

解:设一头牛一天吃的草是1份,第一块地每公顷原有草及50天中新长草是20×50÷25=40份,第二块地原有草及60天新长草是23×60÷23=46份,每公顷每天新长草是(46-40)÷(60-50)=0.6份,即每公顷5天新长草0.6×5=3份够3头牛吃一天,每公顷原有草40-0.6×50=10份,40公顷原有草10×40=400份,80天新长草0.6×40×80=1920份,可供(400+1920)÷80=29(头)牛吃80天。 8.【经济问题】

经济问题主要涉及成本、定价和利润。

利润=售价-成本

利润率=利润 ÷成本×100%

售出价=成本×(1+利润率)

成本= 售出价÷(1+利润率)

例1:红旗商场购回一批商品,按20%的利润率定价。因质量不好,只能按定价的80%出售,结果亏损400元。问:这批商品的成本是多少元?

分析:把原来的成本看做单位“1”,则定价是成本的1+20%=120%,定价的80%是120%×80%=96%,说明实际卖出价是成本的96%,比成本少4%,因亏损400元,所以400元的对应分率是4%。因而成本为:

400÷[1-(1+20%)×80%]=10000(元)

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例2:某水果店进了一批苹果,按30%的利润定价,当售出这批苹果的80%后,为了尽快售完,商店决定把这批苹果按定价的50%降价销售。问:售完这批苹果实获利润率为百分之几?

分析:此题没有一个具体数量,通常用设数法,化难为易。一般把成本设为一个具体数。这里可以设这些苹果的进价为1000元,

则定价为1000×(1+30%)=1300(元)

这批苹果的80%的售价为1300×80%=1040(元)

剩下的苹果的售价为:(1300-1040)×50%=130(元)

这批苹果的实际利润率为:(1040+130-1000)÷1000×100%=17%

(二) 行程问题

小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的,简称“行程问题”。行程问题是小学数学教学中基本而又重要的一类问题,一个简单的路程、速度和时间的关系,却设计出互不相同、十分有趣的问题来。题目中的人物或车辆时走时停,时而变化方向或者速度,产生了各种各样的情形,但解决问题的基础仍然是那些简单的公式,解决问题的关键则是灵活应用的能力。行程问题几乎是各种竞赛的必考知识点。

1.一般行程问题公式

平均速度×时间=路程;

路程÷时间=平均速度;

路程÷平均速度=时间。

2.反向行程问题公式

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反向行程问题可以分为“相遇问题”(二人从两地出发,相向而行)和“相离问题”(两人背向而行)两种。这两种题,都可用下面的公式解答:

(速度和)×相遇(离)时间=相遇(离)路程;

相遇(离)路程÷(速度和)=相遇(离)时间;

相遇(离)路程÷相遇(离)时间=速度和。

3.同向行程问题公式

追及(拉开)路程÷(速度差)=追及(拉开)时间;

追及(拉开)路程÷追及(拉开)时间=速度差;

(速度差)×追及(拉开)时间=追及(拉开)路程。

4.多次相遇

线型路程: 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1

环型路程: 甲乙共行全程数=相遇次数

甲共行路程=甲在单个全程所行路程×共行全程数

例1.某城市东西路与南北路交汇于路口A,甲在路口A南边560米的B点,乙在路口A,甲向北,乙向东同时匀速行走.4分钟后两人距A点的距离相等。再继续行走24分钟后,两人距A点距离恰又相等。问:甲乙两人的速度各是多少?

解:此题一定要画图分析。假设乙向南走,4分钟甲乙两人相遇,甲、乙速度和是560÷4=140(米/分);假设乙一直向北走,4+24=28(分)钟甲追上乙,甲乙的速度差是560÷(24+4)=20(米/分)。再利用和差问题的解法,甲速是:(140+20)÷2=80(米/分),乙速是: 14

(140-20)÷2=60(米/分)。

说明:此题包含了相遇问题、追及问题、和差问题,综合性较强。 例2.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地80千米处相遇,相遇后两车继续前进,甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回,第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

分析与解:这是一个两次相遇的问题,根据题意可画线段图:

甲、乙两车从同时出发到第二次相遇,共行驶了3个全程,第一次相遇距A地80千米,说明行完一个全程时,甲行了8O千米。两车同时出发同时停止,共行了3个全程,说明两车第二次相遇时甲共行了80×3=240(千米),从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米,所以A、B两地间的路程就是:240-60=180(千米)

例3.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地80千米处相遇,相遇后两车继续前进,甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回,第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

分析与解:根据题意可画出线段图:

甲、乙两车从同时出发到第二次相遇,共行驶了3个全程,第一次相遇距A地8O千米,说明行完一个全程时,甲行了8O千米。两车同时出发同时停止,共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了:80×3=24O(千米),从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米,所以A、B两地间的路程就是:(24O+6O)÷2=150(千米)

可见,解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程,然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解 15

答出来。

例4:甲乙两车分别从A、B两地同时出发,在A、B两地之间不断往返行驶,已知甲车的速度是每小时15千米,乙车的速度是每小时35千米,并且甲乙两车第三次迎面相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米。那么A、B两地之间的距离是多少?

分析:这里要注意相遇有两种相遇,一种是迎面相遇,一种是追及相遇。根据题目已知条件,可以求出甲乙两车的速度比是15:35=3:7,可以把A、B两地的距离平均分成17份(画线段图),当他们第一次迎面相遇时,甲乙两车分别行使了3份和7份。第二次迎面相遇,两车要再行2个AB,即甲行了6份,乙行了14份,也就是说,第一次迎面相遇两车一共行了一个全程,以后,每迎面相遇一次,两车行的路程和就增加两个全程,画图可以看出:第三次迎面相遇与第四次迎面相遇的地点相隔4份,所以,全程是:100÷4×1o=250(千米)。

刚才我们用的是图解法,这道题还可以这样解:甲乙两车的速度比是3:7,两车第三次相遇共行了5个AB,其中甲车行了5÷(3+7)×3=1.5个AB = AB + 1/2AB,两车第四次相遇共行了7个AB,其中甲行了7÷(3+7)×3=2.1个AB =2AB+1/10AB,所以,AB 距离为:100÷(1/2-1/10)=250(千米)。

例5:甲乙两人在30米的水池里沿直线来回游泳,甲的速度是1米/秒,乙的速度是0.6米/秒,他们同时分别从水池的两端出发,来回共游10分钟,如果不计转向的时间。那么甲追上乙(不算迎面相遇)多少次?

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解:这是多次相遇的问题,可画图帮助理解。首次追及甲比乙多走30米,用时30÷(1-0.6)=75(秒),以后每隔150秒追及一次(即每多走2个30米追及一次),一共追及(60×10-75)÷150+1=4(次)。 例6.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩,他们从同一地点同时出发,背向绕水池而行,兄每秒走1.3米,妹每秒走1.2米,照这样计算,当他们第十次相遇时,妹妹还需走多少米才能回到出发点?

分析:这是环形跑道上的行程问题,环形跑道上相反而行,形成了相遇问题,也就是路程、时间及速度和关系的问题。本题重点在于计算第十次相遇时他们所走过的路程。

解答:每两次相遇之间,兄妹两人一共走了一圈30米,因此第十次相遇时二人共走了:30×10=300(米),两人所用时间为:300÷(1.3+1.2)=120(秒),妹妹走了:1.2×120=144(米),由于30米一圈,144÷30=4(圈)…24(米),30-24=6(米),因此妹妹再走6米才能回到出发点。

说明:绕圈问题中,需要注意的事情就是一圈的路程往往起着重要的作用:在相遇问题中,每相遇一次,两车(或两人)的路程和就恰好增加一圈;而在追及问题中,每追及一次,两车的路程差又恰好增加一圈。

【行程问题中正反比例关系的应用】

路程一定,速度和时间成反比。

速度一定,路程和时间成正比。

时间一定,路程和速度成正比。

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例7:1000米比赛,已知甲到达终点时,乙离终点50米;乙到达终点时,丙离终点100米。那么,甲到终点时,丙离终点多少米?

解:设甲到终点时丙离终点x米。

(1000 -50 ):(1000 - x )= 1000 :(1000 - 100) x = 145

几种特殊的行程问题:

1. 流水行船

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 注意:流水行船问题一定要注意水流速度对船速的影响。

例1:两个口岸A.B沿河岸的距离为360千米,甲船由A上行到B需要10小时,由B下行到A需要需要5小时。若乙船由A上行到B需要15小时,那么由B下行A需要多少小时?

解:船上行需要10小时,则甲船逆水速度为360 ÷10=36千米/时,甲船下行需要5小时,则甲船顺水速度为360÷5=72千米/时,则水速为:(72-36)÷2=18千米/时。

又乙船上行需要15小时,则乙船逆水速度为360÷15=24千米/时,乙船船速为:24+18=42米/时,乙船顺水速度为:42+18=60千米/时,乙船下行需要时间是,360÷60=6千米/时.

例2 :某人逆水游泳在大桥下丢失一只水壶,经过15分钟才发现 18

丢失水壶,立刻返回寻找,终于在离大桥500米处追到。他返回寻找水壶用了多少分钟? 解:设静水速度为a米/分,水流速度为b米/分,丢失水壶15分钟时,游泳者与水壶相距15×[(a-b)+b]=15a,返回寻找需用15a÷

[(a-b)+b]=15(分钟)。

注意,人与水壶的相对速度不变,与不流动的情况一样,水壶失后逆流游15分钟,返回寻找也需要用15分钟。

说明:流水行船问题中的相遇与追及:

(1)两只船在河流中相遇问题。当甲乙两船(甲在上游、乙在下游)在江河里相向开出,它们单位时间里靠拢的路程等于甲乙两船的速度和。 这是因为:甲船顺水速度+乙船逆水速度=(甲船速+乙船速)+(乙船速-水速)=甲船船速+乙船船速,这就是说,两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样,与水速无关。

(2)同样道理,如果两只船同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只与路程差和船速有关,与水速无关。因为:甲船顺水速度-乙船顺水速度=甲船速-乙船速。甲船逆水速度-乙船逆水速度=甲船速-乙船速,这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样。

2. 火车行程问题

(1) 火车过定点: 火车长 ÷火车速度 = 通过时间

(2) 火车过动点: 火车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题

①相向行驶: 火车长÷速度和 = 通过时间

19

②同向行驶: 火车长÷速度差 = 通过时间

(3) 火车过定长(桥):

(火车长+桥长) ÷ 火车速度 = 通过时间

(4) 列车过动长:

①相向行驶(即两车错车) (车长1+车长2)÷ 速度和 = 通过

时间

②同向行驶:( 即快车超车慢车)(车长1+车长2)÷ 速度差 = 追

及时间

例1:两列火车相向而行,甲车每小时行48千米,乙车每小时行60千米,两车错车时,甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时,到车尾经过他的车窗共用13秒钟,求乙车全长多少米?

分析:甲车乘客看到乙车经过用了13秒,而他看到的乙车速度则是甲、乙两车实际速度之和。 解答:乘客看到乙车的相对速度即甲、乙车实际速度之和为:48+60=108(千米/时)合30米/秒,乙车长为:30×13=390(米),即乙车全长为390米。

说明:错车也是一类常见问题,重点在于如何求得相对速度,另外,注意单位的换算,1米/秒合3.6千米/时。

例2:一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是280米,慢车的车长是385米,坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒,那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒?

分析:慢车上的人看快车和快车上的看慢车,他们看到的相对速 20

度是相同的,这就是本题的关键。

解答:两车相对速度为:385÷11=35(米/秒),慢车上的人看快车驶过的时间为:280÷35=8(秒),即坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是8秒。

评注:在错车的问题中,对双方来说相对速度是相同的,不同的是错车的距离和时间,对车上的人,距离一般是对面火车长。

例3:某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,问该列车与另一列车长320米,时速64.8千米的列车错车而过需要几秒?

分析:列车通过隧道行进的距离是隧道长加车长,两车完全错车行进的距离之和是两车之和。

解答:列车通过第一个隧道比通过第二个隧道多走了40米,多用2秒,因此列车速度为:(250-210)÷(25-23)=20(米/秒),车长为20×25-250=250(米),另一辆车时速64.8千米,合18米/秒,两车错车需时为:(250+320)÷(20+18)=15(秒),即两车错车需要15秒。

注意:在火车错车、过桥、过隧道、进站等问题中常常会用到车长作为行进距离的一部分,因此遇到此类问题一定要特别小心。

例4: 李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里,看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来,当货车车头经过窗口时,他开始计时,直到最后一节车厢驶过窗口时,所记的时间是18秒。已知货车车厢长15.8米,车厢间距1.2米,货车车头10米,问货车行驶的速度是多少(第十二届 21

华杯赛决赛题)

分析:表面上看这是两车错车问题,但实际是火车过动点的相遇问题。

60米 = 50/3米/秒,货车长为:(15.8+1.2)×30+10 = 520(米),速度和:520÷18=260/9(米/秒),货车速度:260/9 - 50/3 = 110米/秒 = 44千米/时

3. 钟表问题。

(1)基本类型:

① 时针与分针的位臵关系:重合、垂直、一条直线

② 某一时刻时针与分针的夹角

③ 两只钟的钟点比较(即快慢钟的问题)

(2)钟面上的路程和速度:

① 钟面一圈按“小时”分为12大格:时针每小时走1大格,分针每小时走12大格,每小时相差11大格;

②钟面上一圈按“分”分为60小格:分针每分钟走1小格,时针每分钟走1211小格,分针每分钟比时针多走小格。

③按角度算:分针每分钟走360°÷60=6°,时针每分钟走6°×1

=0.5°,每分钟分针比时针多走5.5°。

分针、时针都按顺时针方向转动,所以经常将时钟问题转化为追及问题来解决。

(3) 对于与不准确钟有关的时间问题,一般的解法是:

① 抓住单位时间内的误差,再根据某段时间内含有多少个单位时 22

间,就可以求出这段时间内总的误差。

②也可以求出不准确钟与标准时间的比来,运用比和比例的知识求解。

③也可以利用方程来解。

例1:小明在做家庭作业前看了石英钟,长短针都指在7与8之间,并且长针在短针后一小格;当短针指向8和9之间,而长针正好指向短针的相反方向时,小明恰好做完了家庭作业。问:小明是什么时候开始做作业的?他的家庭作业做了多长时间?(华杯赛模拟试题 )

解:7点整时,分针落后时针35小格,而开始做作业时,只落后

1小格,说明追及路程是(35-1)小格,即:(35-1)÷(1 -12)= 3711(分),所以他开始做作业的时间为7时37(分)。 1111

由分针落后时针1小格到反超30小格,追及路程为31小格,追及时间(即做作业时间)为:(1+30)÷(1-12)=3311(分)。

例2 : 闹钟每小时比手表快5分钟,手表每小时比标准时间慢5分钟。早上8点,闹钟与手表都与标准钟对准,到晚上标准时间8点时,闹钟时间是多少?手表时间是多少? 了12小时,手表就慢了12×5=60(分钟),即手表时间是晚上7点。而闹钟每小时比手表快5分钟,所以当手表从早上8点走到晚上7点时,走了11小时,闹钟就走了11×5==55(分钟)。

解法一:手表走了12×60-12×5=660分钟=11(小时),

所以手表时间是晚上7点。

23

(三)工程问题

工程问题是分数应用题的一个特例,与整数的工作问题一样,都是研究工作量、工作时间、工作效率之间的关系,所不同的是,工作量、工作效率不是具体数,,而是用抽象的分率来表示,一般用“1”表示工作总量,工作效率则用完成总量所需时间的倒数来表示。其基本关系式是:工作总量=工作效率×工作时间。

例1:有甲、乙两项工作.小张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;小李单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?

分析与解 : 合理安排应是小李先单独完成甲工作,同时,小张单独先做8天乙工作.然后,小张、小李合作完成乙工作的剩余量,共用(1-

11177×8)÷(+)+8=÷+8=12(天). 151520156024

因此,这两项工作都完成最少需要12天。

例2:某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成.如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需做多少天?

【分析与解】 方法一: 由右表知,

甲单独工作15天相当于乙单独工作20天,也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天,甲单独工作63天,相当于乙单独工作63÷3×4=84天,即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程.

现在甲先单独做42天,相当于乙单独工作42÷3×4=56天,即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程.

方法二:可以先进行条件转化,即“先由甲单独做63天,再由乙独做28天即可以完成。”可转化为“甲乙合作28天,再由甲独做63-28=35天可以完成,”于是可以求出甲的工效是:(1-1/48×28)÷(63-28)=1/84,乙的工效是:1/48-1/84=1/112,(1-1/84×42)÷1/112=56(天)

【分析与解】 这是水管工程问题。

25

方法一:甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开l小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的-+-=7/60

最优情况为:在完整周期后的1小时内灌满一池水.因为此时为甲管进水时间,且甲的效率是四条管子中最大的.

那么在最优情况下:完整周期只需注入1--=池水. 所需周期数为÷

12

27030

==4

767

1

6

16

13

13

141516

12

那么,至少需要5个完整周期,而5个完整周期后,水池内有水+

1737

×5=+=

612460

31

剩下l-=池水未灌满,而完整周期后l小时内为甲注水时间,

44

113

有÷= (小时).

344

33

所以,需5个完整周期即20小时,再加上小时,即20小时后

44

水开始溢出.

方法二:甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开1小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的-+-=

117.

56601717

加上池内原有的水,池内有水:+=.

66060

17745

+×4=,606060

1

314

再过四个4小时,也就是20小时后,池内有水:在20小时后,只需要再灌水1-

145

=,水就开始溢出. 460

1133

÷= (小时),即再开甲管小时,水开始溢出,所以

344433

20+=20(小时)后,水开始溢出水池.

44

方法三:甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开1小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的-+-=

117

.

5660

171743

一个周期后,池内有水:+=,有待注入;

6606060

26

1314

31772436+=,即有待注入; 5606060602429731 三个周期后,池内有水:+=,有待注入; 60606060223173811 四个周期后,池内有水:+=,即有待注入; 6060606030

13874515 五个周期后,池内有水:+=,即有待注入. 4606060601 而此时,只需注入的水即可,小于甲管1小时注入的水量,所以4

11333有÷= (小时),即再开甲管小时,水开始溢出,所以20+=34444320 (小时)后,水开始溢出水池. 4 二个周期后,池内有水:

评注:这道题中要求的是第一次溢出,因为在一个周期内不是均匀增加或减少,而是有时增加有时又减少 ,所以不能简单的运用周期性来求解,这样往往会导致错误的解答,

(四)比例与分数、百分数问题

应用题中常常涉及到比例、分数、百分数,往往需要选取恰当的量作为单位“1”,有时选取较小的量作为一个单位,可以实现整数化计算。

例1:师徒二人 加工规定了数量的一批零件,按加工零件数目的比例分配3000元报酬,如果按原计划的速度,师傅应该得1800元,但是结果师傅每天比计划多加工了10个零件,于是实际得到了2040元,那么徒弟每天加工多少个零件?

分析:解决本题首先要理解报酬的分配方法,也就是当师徒二人完成任务后,该如何分配这固定的3000元报酬呢?根据已知(也符合生活实际),报酬分配的比例就是两人加工零件数目的比例,也就是两人工作总量的比例。那么,由于两人的工作时间是相同的,此时, 27

工作总量与工作效率成正比,所以报酬分配的比例就是两人工作效率的比例。

解:师徒二人的工作效率比是:1800:(3000-1800)=3:2

后来师徒二人的工作效率比是:2040:(3000-2040)=17:8 徒弟每天加工的零件数是:10÷(17/8-3/2)=16(个)。

例2:有一堆糖果,其中奶糖占45%,再放入16块水果糖,奶糖就占25%,那么,这堆糖果中有奶糖多少块?

分析:根据条件,有些同学可能会这样列式:16÷(45%-25%)=80(块),这些同学认为这两个百分率都是以总糖数为单位“1”,却没想到45%和25%的单位“1”并不相同,因此不能直接相减。

解:把奶糖看做单位“1”,原来水果糖是奶糖的(1-45%)÷45%=11 9,

3现在水果糖是奶糖的(1-25%)÷25%=,因此,放入的16块糖的对应31616分率是-11。 =。 16÷=9(块)

说明:作为单位“1”的量应该是保持不变的,这是选取单位“1”的基本条件,而在本题中,只有奶糖的数量是不变的。

例3.某次数学竞赛设一、二、三等奖.已知:①甲、乙两校获一等奖的人数相等;②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6;③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%;④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%;⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍.

那么,乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?

【分析与解】 不妨设甲校有60人获奖,由①、②,乙校有50 28

人获奖.

由③知两校获二等奖的共有(60+50)×20%=22人; 由⑤知甲校获二等奖的有22÷(4.5+1)×4.5=18人; 由④知甲校获一等奖的有60-60×50%-18=12人, 从而所求百分数等于12÷50×100%=24%.

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