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2005年全国初中数学联赛决赛试卷

发布时间:2014-06-02 23:54:08  

2005年全国初中数学联赛决赛试卷

一、选择题:(每题7分,共42分)

1

的结果是__。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102

3、设r≥4,a=1-1,b

rr+1,

c

=,则下列各式一定成立的是__。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公

切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。

A

、 B

、C

D

5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,

记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|A、p>q B、p=q C、p<q D、p、q大小关系不能确定 6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005

222+x3+x4+x5的未位数字是__。 -x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则x12+x22

A、1 B、3 C、5 D、7

二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。 2,则x=___。

3、若实数x、y满足x

3+43+3y3+633=1,x5+43+3y5+633=1,则x+y=__。

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-

B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。

三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数,ac<0

,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于3而小于1的根。 4

2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。

3、a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。

2005年全国联赛决赛试卷详解

一、选择题:(每题7分,共42分)

1

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

?

5

1

???

??14

所以选D

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 解:由题意得:

2222

5+14-2×5×14×cosα=10+11-2×10×11×cos(180°-α)

∴221-140cosα=221+220 cosα ∴cosα=0 ∴α=90°

∴四边形的面积为:5×7+5×11=90 ∴选C

3、设r≥4,a=-

1r

1,b

r+1,c

,则下列各式一定成立

的是__。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a 解法1:用特值法,取r=4,则有

1111

?? a=-?,b

=-

24520

25?20

??

1.036

, 20

c

?

?5

220

?

?

1.18

20

∴c>b>a,选D 解法2:a=-

1r

11

?, r?1r?r?1?

b

?

?

c

?r?4,?r???

r??

1

r

?

r

r1

1?1??1??

?r?r?1?

?又

故r,?0

ar

b

?

?r

  ??

?

?r

?rr

故b?c,综上所述:?a?b选,c D

解法3:∵r≥4

???<1

???

?b

∴a??

???

???b

c

?

∴a<b<c,选D

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。

A

B

C

D

解:由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积

?2

∴??1?2AB,?AB?

2

由垂

?

2

得公共弦

?2?

4

∴选D

2

5、已知二次函数f(x)=ax+bx+c的图象如图所示, 记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。 A、p>q B、p=q C、p<q D、p、q大小关系不能确定 解:由题意得:a<0,b>0,c=0

∴p=|a-b|+|2a+b|,q=|a+b|+|2a-b| 又?

b2a

?1,??b?2a,?2a?b?0,从而a?b??a?0

∴p=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b=2b+a, q=|a+b|+|2a-b|= a+b+b-2a=2b-a

∴p<q,选C 6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=24,则x1+x2+x3+x4+x5的未位数字是__。

A、1 B、3 C、5 D、7

解:因为x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)为互不相等的偶数

22

而将24分解为5个互不相等的偶数之积,只有唯一的形式:24=2·(-2)·4·6·(-6) 所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)

22 2222 2

所以(2005-x1)+(2005-x2)+(2005-x3)+(2005-x4) +(2005-x5) =2+(-2)22 2

+4+6+(-6)=96

展开得:5?2005-4010?x1+x2+x3+x4+x5?+?x1+x2+x3+x4+x5??96

2

2

2

2

2

2

2

22222

?x1+x2+x3+x4+x5=96-5?2005+4010?x1+x2+x3+x4+x5?

2

2

2

2

2

2

        ?1?mod10?,选 A

二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。

解:(3×1+3×2+……3×33)+(5×1+5×2+……5×20)-(15×1+15×2+……15×6)=1683+1050-315=2418

2

,则x=___。

∵x≠0,

2,?

两边平方化简得:7x?2? 再平方化简得:21x?8x?48=0,解之得x?3、若实数x、y满足

x3+43?

3

7x,

2

2

124

或x??(舍去) 73y

3

3

+3

y3+6

3

33

=1,

x5+4?3??5?

33

3

+3

5+66?4?6?4?

3333

3

=1,则x+y=__。

解法1:假设x+y=a,则y=a-x

??3?6?x+?

3

3

即?6?4?x?

3

3

3

3

??

3?5?

3

3

a?x???-?4

a???3??4

3

2

3

??

3?

3

3?

3

4

3

3

,

3

3

?3?6  ?4?5?

3

3

6

3

1

??5?6?x+?即?6?4?x?

3

3

5?

3

a?x???-?4

a???5??4

3

2

??

5?

3

4

3

3

,

3

3

?5?6  ?4?

3

6

3

2

?2?-?1?得:

?5?3

3

3

?a??5

33

3

3

?

3

2

??3

3

3

?

2

??5?3

3

3

??4

?

3

??5?3

3

3

??6

3

 

?a?3?4?5?6=432

3

解法2:易知3、5是关于t的方程

2

3

xt?4

3

yt?6

3

33

?1的两根

3

3

3

化简得:t??x?y?4?6

3

3

?t??6

3

3

3

x?4y?4?6

3

??0

由韦达定理得:3?5?x?y?4?6

3

3

  ?  x?y?3?4?5?6?432

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-B,B-C以

及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。

解:? ??min?A?B,B?C,90??A?

?  ??A?B,??B?C?,??  6??2?A?B???B?C??    ?27?0??A?B?C??

9??0A

?3?9?0A?

?90

?  ??15?

有A?75?,B?60?,C?45?满足题设条件,故

另一方面,当A?B?B?C?90??A?15?时,

?可取得最大值15?

三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数,ac<0

,证明:一元二次方程ax+bx+c=0有大于

3

而小于1的根。 4

2

2

解:设f?x??ax?bx?c

?3??9则f???f?1???a?

416???       ?

116

3

b?4

?

c??a?b?c??

c1a?b?c???6

?9a?

1b2?

?

a+

?5c

???9a?12b?16c??

a?b?c?? 9a???16c?a??

?3?

?

?

3

?

?c?

??

  ??

?

?a?

?

?

?3?3??

c??a?c?

?3?3?

2?

  ?c?

?

c

a

??3?a3?????0

c3??3?

∴f?

?3?

??f?1?<0 ?4?

2

∴一元二次方程ax+bx+c=0有大于

3

而小于1的根. 4

2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE 与BC的延长线于交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:F、G、T三点共线。

证法1:设过D、E的垂线分别交BC于M、N,在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由射影定理得: 22

CE=CN·CB,BD=BM·BC

CNBM

?CEBD

22

又Rt△CNG ∽Rt△DCB,Rt△BMF ∽Rt△BEC, ∴GN?∴

BD?BECEBE?CE

??????1? 2

FMCD?CEBMCD?CEBDBD?CDGN

BD?BE

CN

2

BDCD

?CN,FM?

CEBE

?BM

在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由面积关系得:BE·CE=EN·BC,BD·CD=DM·BC ∴由

GNFM

?TNTMBE?CEBD?CD

?ENDM

?TNTM

?2?

(1)(2)

,又GN?FM,?F、G、T三点共线.

证法2:设CD、BE相交于点H,则H为△ABC

记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R

∵DM∥AR∥EN

∴ 由

DF

?MM

,DFFM

?AHHR

?EGGN

合比

EG

NN

定理

得GN故F、,、?三GFM

证法3:在△ABC中,直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D,由梅涅劳斯定理得:

BTTC

?CEEADB

?AD

?1    (1)

设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,AH⊥BC

∵DF⊥BC、EG⊥BC ∴AH ∥DF ∥EG ∴

CEEA

?CGGH

,ADDB

?HFFB

,代入?1?得

BTTC

?CGGH

?HFFB

?1

由梅涅劳斯定理的逆定理得:F、G、T三点共线.

证法4:连结FT交EN于G

为了证明F、G、T可

DFFM

?S?BDFS?BMF

?

1

212

BD?BFsin?ABEBM?BFsin?CBE

1212

BM

sin?CBE

EGGN

?

S?CEGS?CMG

?

CE?CGsin?ACDCN?CGsin?BCD

?

CECN

?

sin?ACDsin?BCD

BD

BMBDCNCEDFBCsin?ABEEGBCsin?ACD

?,?  ∴?1? FMBDsin?CBEGNCEsin?BCD

?

BC

,

CE

?

BC

∵CD⊥AB、BE⊥CA,∴B、D、E、C四点共圆 ∴∠ABE=∠ACD (2) 又

BDsin?BCD

sin?CBE

DFEG

?将(2) (3)代入(1)得:,故F、G、T三点共线. FMGN

?BC?

CE

,?BDsin?CBE?CEsin?BCD (3)

3、设a、b、c为正整数,且a+b=c,求c的最小值。 223

解:显然c>1.由题设得:(c-a)(c+a)=b

?c2?a?bb?b?1?2

,则c? 若取?2 2

2?c?a?b

234

由大到小考察b,使

b?b?1?2

为完全平方数,易知当b=8时,c=36,则c=6,从而

2

a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解,列表如下:

?

参考答案:一、1、D 原式?

??14

2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C都是直角 3、D

4、D 5、C 6、A

二、1、2418 2、12 3、x+y=33+43+53+63=432 4、15°

7

三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。

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