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2011级985高等数学(下)及其参考答案

发布时间:2014-06-05 08:09:16  

2011级高等数学下册试题(985)

一、选择题(每小题3分,共 12分)

1.函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续是它在该点偏导数存在的 (D) (A)必要而非充分条件; (B)充分而非必要条件; (C)充分必要条件; (D)既非充分又非必要条件. 2.下面哪个方向向量可作为曲面z?f?x,y?上点?x0,y0,z0?处与z轴正向成锐角的法向量(D) (A)?1,fx??x0,y0?,fy??x0,y0??; (B)?fx??x0,y0,fy??0,y0?(C)?fx??x0,y0?,fy??x0,y0?,?1?; (D)??f??x0,y00?,1?. 3.设两空间闭区域

?1:x2?y2?z2?R2,z?0?2:x2?y2?z2?R2,x?0,,下面结论哪个正确?(C) (

(B)???ydxdydz?4???ydxdydz;

?1

?2

((D)???xyzdxdydz?4???xyzdxdydz.

?1

?2

4.?x,y?dy? (D)

1

1

((B)?dy?

010

??arcsiny?

f?x,y?dx; f?x,y?dx.

((D)?dy?

??arcsiny

5.fx??x,1??1 解:令 ??x??f?x,1??x,则 ???x??1,所以 fx??x,1?????x??1. 6.设u?2xy?z2,则u在点?2,?1,1?处的方向导数的最大值为26. 解: u?2xy?z2在点?2,?1,1?处的梯度为

grad?2u,?1,1???u?,1?,u?,1?,u?,1?????2,4,?2? x?2,?1y?2,?1z?2,?1

1

所以u在点?2,?1,1?处的方向导数的最大值为

?2u,?1,1? grad?22?42??22?2.

x?0y?2z?1??. 2137.曲线x?t2?1,y?t?1,z?t3在点?0,2,1?处的切线方程是

解:点?0,2,1?对应参数为t?1.曲线在点?0,2,1?处的切向量为 s??x??1?,y??1?,z??1???2t,1,3t2??2,1,3?

所以曲线在点?0,2,1?处的切线为

x?0y?2z?1?? 213

L??8.设L为圆周x2?y2?4,则2y2ds?解:由轮换对称性知 12?2yds?2x2?2y2?ds??x2LL2L?

?4ds?4??2??2??16?. L

9.

dS1?x?y21???3?ln2??. 2??

y?1?x, x?1.?3dxdy ?x11?x?y2dy

1?1?1?y?1?x11?? ?3?????dx??dx |?01?x0?1?x?y?y?02????

1?x?11??? ?3?ln(1?x)?x?|??ln2??. 2?x?02???

10.微分方程xy??ylny?0的通解是y?eCx. 解:原方程可化为

2

两边积分得

11dy?dx ylnyx?111dy??dx??d?lny??lnx?lnC,即 ylnyxlny ln(lny)?ln(Cx)?lny?Cx?y?eCx

三、计算、证明题(每题10分,共50分)

11.计算I?C?exy?eln

ydx?dy?1yx?

ex

解法一:I?elnydx?dy?ydx CLyx

其中,由格林公式

???exex

??Celnydx?ydy????x??yD?x????

??xx??0; ??44. 15

xd y

?D??1?dxd y??D

1 ??dx?4?1144??1?dy???x4?x2?2?dx?? ?1x?13?x215

12.若f?u,v,w?可微,u?x?y,v?y?z,w?z?x,求解:由复合函数求导法则

?f?f?u?f?w?f?f?.?.?? ; ?x?u?x?w?x?u?w

?f?f?f??. ?x?y?z3

所以

?f?f?u?f?v?f?f; ?.?.????y?u?y?v?y?u?v?f?f?v?f?w?f?f?.?.???。 ?z?v?z?w?z?v?w?f?f?f???0. ?x?y?z

13.求f?x,y??xy?x2?y2?2x?2y?4的极值点与极值. 解:

?fx??x,y??y?2x?2?0,(一)由? ???fx,y?x?2y?2?0,?y

?x??2,解得唯一解 ?,因此f?x,y??。 ?y??2.

???x,y???2,B?fxyy??2。 ???x,yfyy(二) A?fxx

因为在P0??2,?2?处,A?0,C??2,B?1B2?4?1?3?0,所以

P08。

14. 002?

an?2

???

0f?x?cosnxdx???2

0cosnxdx?2n?sin n?2

?0,n?2k,? ??2k???1?2k?1??

所以,f?x?的余弦级数为

k?1,2,...,. 4

k?12???1?f?x????cos?2k?1?x,x?. 22?k?02k?115.设f?x?具有二阶连续导数,f?0??0,f??0??1,曲线积分

2??????????xyx?y?yfxdx?fx?xy?dy与路径无关,求f?x?. ?L

解:由积分与路径无关的条件知

f???x??2xy?x2?2xy?f?x?。

化简得

f???x??f?x??x2 ① r2?1?0

解得特征根为

r?0?i

故齐次通解为

F?x??e0x?C1sin ② 因为??0

y*?002bx?c?ax2?bx?c。 ③ 把f*?x???c

a?0,c??2。

故 fx??x2?2。

f?x??F?x??f*?x??C1coxs?C2sinx?x2?2 ④ 再将初始条件f?0??0,f??0??1代入④,解得

C1?2,C2?1.

于是 f?x??2coxs?sinx?x2?2.

四、应用题(10分)

5 ??f??x??x2y??xy?x?y??yf?x?? ?x?y???

16.设地球半径为R,已知地球上空距地球中心r?R处,空气密度为??r???0e

M??r?k?1???R?(k为已知的正数).求地球上空空气的总质量. 解:设地球上空空气总质量为M,则

R?r????????r?dxdydz 2? ??0?d??sin?d??ee00R???kk?rRr2dr ?4??0ek?eR??k?rRr2dr ①

而 1??2?arrde(分部) Ra?R

??1??ar2?? ??er|?2?re?ardr? R?R??a?

12?? ?e?aRR2??re?ardr aaR

12?? ?e?aRR2?2?rde?araaR

1?aR22??ar?? ?eR?2re| R?aa?

1?aR22R?aR2??ar?eR?e

?2?edr aR

???de?ar R

??23e?ar|R a

23e?aR a ?r2e?ardr?????????

?aR ② 40R2?2k?k2. M?3k??

五、证明题(10分)

17.设u?x,y,z?在单位正方体D??0,1???0,1???0,1?上二阶导函数连续,v?x,y,z??xyz?x?1??y?1??z?1?.证明:

?2u?u?v(1)???2?????dxdydz; ?x?xD?xD

6

??2u?2u?2

(2)?????z?

?x2??y2??z2???vdxdydz????????u?v?u?v?u?v?D??D??x?x??y?y??z?z??dxdydz.

?

(1)

证法一:

????2

[u

2??u?v]???u?

D?x?x?xdxdydz?????v?dxdydz D?x??x? ????1

????

D?0?uv??dx??dydz

yz??x??x??

??????uvx?1?dydz?0Dyz??x|x

?0??所以,????2u???u?v

2D?x???D?x?x证法二:记S为D的表面外侧.由v?x,y, 0??u

?x(高斯公式)

S

.

(DD; ①

????2u???u?v

2D?y???D?y?ydxdydz; ②

????2u??

D?z????u?v2D?z?zdxdydz. ③

①、②、③式相加即得

7

???????2u?2u?2z????

??x2??y2??z2?vdxdydz???????u?v?u?v?u?v?

?x?x??y?y??z?z??dxdydz.

D?D??证法二:模仿(1)中关于①的证法,分别证明②、③也成立. 8

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