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2013年天津市数学竞赛试题(经济管理类)

发布时间:2014-06-07 09:53:57  

在x?ax?c和

二. 选择题(本题15分,每小题3分. 每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认

为“正确选项”前的字母填在括号内.选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分)

1.设f(x),g(x)都是区间[a,b]上恒大于零的可导函数,且

f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0,x?[a,b].

则当a?x?b时,必有 ( )

(A)f(x)g(b)?f(b)g(x). (B)f(x)g(a)?f(a)g(x).

(C)f(x)g(x)?f(a)g(a). (D)f(x)g(x)?f(b)g(b).

2. 设F(x)??2x2

0[1?cost?sint]dt,则limx?0F(x)? ( ) 4x

(A)?. (B)1. (C)0. (D)1. 2

1

21?23. 以下积分I?0的是 ( ) (A)I??

?121?2x(1?cosx)dx. (B)I??x(1?sinx)dx. 11?x1?xxlndx. (D)I??21x2lndx. ?1?x1?x2(C)I?

121?2

4. 设f(x)可导,f'(0)?1且f(0)?0,平面区域D?{(x,y)|x2?y2?t2}.当t?0时,F(t)???[x2?f(x2?y2)]dxdy是t的 ( ) D

(A)一阶无穷小. (B)二阶无穷小. (C)三阶无穷小. (D)四阶无穷小.

5. 如图,半径不相等的两个木质球体,分别在中间钻出一个以球直径为轴的圆柱形洞,使得剩下的两个环状立体A和B的高都等于h.通过计算,正确的结论是 ( )

(A)A的体积等于B的体积 (B)A的体积小于B的体积

(C)A的体积大于B的体积 (D)不能判断,A与B的体积的大小与球半径有关

h

A B

三.(本题7分)

(a?x)x?ax

设a?0,a?1. 求极限lim. x?0x2

四.(本题7分) 求不定积分

arcsinx2

. )?x2 (0?|x?|1

五.(本题7分)

已知某厂生产x件产品的成本为C?25000?200x?12x(元).问 40

(1)要使每件产品的平均成本最小,应生产多少件产品?

(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?

六.(本题7分) 设y?y(x)是由方程e?y??e?tdt?y?x?1确定的隐函数. 0

'x2(1)证明y(x)是单调增加的;(2)求limy(x). x???

七.(本题7分)

已知曲线y?x4?ax3?bx2?cx经过点(1,?1)且在该点处有水平切线,问实数a在什么范围内取值时曲线没有拐点.

八.(本题7分)设a?0,f(x)是区间[0,a]上具有二阶导数的非负函数,且f(0)?0. 若f''(x)?0(0?x?a),证明?a

02aaxf(x)dx?f(x)dx?0. 3?0

九.(本题7分) 求正数a的取值范围,使得曲线y?ax与直线y?x必相交.

十.(本题7分) 设f(x,y)?(y?x2)(y?2x2).试证明

(1)对于任意的常数k,f(0,0)是f(x,y)在约束条件y?kx下的极小值;

(2)f(0,0)不是二元函数f(x,y)的极小值.

十一.(本题7分)

设有曲线Cn:x2n?y2n?1(n为正整数),Dn为

所围成的平面区域的面积. 证明limDn?4. n??

十二.(本题7分)

22设区域D?{(x,y)|x?y?1,x?0,y?0},求D

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