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2013年新知杯模拟题答案

发布时间:2014-06-07 09:54:01  

2013年新知杯模拟考试题

考试时间120分

命题人:秦祖梁

一:填空题(每题10分)

1.在等腰?ABC中,?A、?B、?C的对边分别为a、b、c,已知a?3,b和c是关于x的方程

1x2?mx?2m?0的两个实数根,则?ABC的周长为2【分析】11由x?mx?2m?0可知,b,cb?c??m,bc?2m.222

由三角形三边关系定理可知,b?c?3,b?c?32

故?m?3?m??3,b?c3由题意可知,??m2?2m?8≥0?m≥2或m≤?4

故m≤?4且m2?2m?17?0(可不解该不等式,求出m代入检验即可)

122若b?3或c?3,则有32?3m?2m?0?m?,代入上述条件检验可知满足题意;25

若b?3且c?3,则必有b?c,此时??m2?2m?8?0?m?2或m??4,经检验可知m??4

222221217当m?时,原方程变为x2x?0,此时bc,不妨设b?3,则c;55555当m??4时,原方程变为x2?4x?4?0,此时b?c?2,满足题意.

737故?ABC的周长为2?2?3?7或3?3.55

2.已知整数a,b,c满足a2?b2?c2?3?ab?3b?2c,则满足要求的整数数组(a,b,c)一共有

求的1组。【分析】利用整数的离散性得知a2?b2?c2?4?ab?3b?2c,配方后得到a?1,b?2,c?1是唯一符合要

3.将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上,使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10。则每一个面上的四个数之和的最小值是【分析】设某个面上的四个数a,b,c,d之和达到最小值,且a?b?c?d,由于小于5的三个不同的正整

数之和最大是9,与条件不符,说明a,b,c中有数不小于5,所以d?6。从而a?b?c?d?16。举例:上面写1,7,3,6,下面写4,8,2,5符合要求。所以最小值是16.

4.设a,b是正整数,使得79(a?77b),77a?79b),那么符合要求的a?b的最小值是

易知7939a?b,77a?b,所以设39a?b?77?79k

则39a?39b?77?79k?38b?39?155k?38(b?k)

所以b?k?39。所以39a?39b?39?155?38?39

所以a?b?193,当a?155,b?38时等号成立。【分析】

2013年新知杯模拟考试答案版第1页共4

5.?19??20??91?若实数r使得?r?r???r??546,则?100r????100100100??????【分析】等式左边共73项,且因为192091,,?,都小于1,所以每一项为??r或者??r?1,100100100

注意到73?7?546?73?8,故必有??r?7。进一步有73?7?35?546,所以原式左边从第1项至第38项的值为7,其余各项值为8.说明r?0.56?8,r?0.57?8。所以7.43?r?7.44,100r??743。?

6.在梯形ABCD中,AD//BC,BC?BD?1,AB?AC,CD?1,且?BAC??BDC?180?,则

CD

【分析】如图

7.将2个m和2个n共4个字母填在4?4方格表的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法有【分析】72?72?72?16?72?3960种。

8.在Rt?ABC中,a,b为直角边,c为斜边,若ba17?,求a:b:c=a?cb?c20。

【分析】8:15:17或15:8:17,由a2?b2?c2得c2?a2?b2,因为

c?a?c?a?b??c2?a2?b?c?a??b2?b?c?a??b?a?b?c?,所以??

bcabacbaba2c17?,同理,?,故??,所以c?aa?b?cb?ca?b?cc?ac?ba?b?c2017?a?b??23c。289?a?b??529c2?529?a2?b2?,整理得2

240a2?2?289ab?240b2?0,即120a2?289ab?120b2?0,变形为

2aaa815222120?289?120?0,解得?或,因为8?15?17,所以a:b:c?8:15:17或??bbb158

15:8:17。

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二:解答题

9.2a?2b(15分)试找出不能表示为c的形式的最小的正整数,其中a,b,c,d都是正整数。2?2d

【分析】只需对奇数举例即可,偶数在分子中乘以2即可。

4?28?216?132?21,3,5,4?24?24?18?2

16?264?1128?27,9,4?28?116?2

2a?2b

假设11c,不失一般性,可设a?b,c?d,记m?a?b,n?c?d,k?b?d,于是可以得2?2d

11(2n?1)?2k(2m?1),奇偶分析知k?0。显然n?1时无解,n?2时,mod4知无解。所以不

能表示的最小的正整数是11。

10.(15分)第二大题:已知正整数a,b,c,d,e,f满足和S?a?b?c?d?e?f可以整除

abc?def和ab?bc?ca?de?ef?fd,求证S是合数。

【分析】设

P(x)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?d)(x?e)(x?f)?Sx2?(ab?bc?cd?de?ef?fd)x?abc?def

则二次多项式P(x)的系数都是S的倍数,因此P(d)?(a?d)(b?d)(c?d)也是S的倍数,

但a?d,b?d,c?d均小于a?b?c?d,所以说明S是合数。

11.(20分)第三大题:△ABC中,AB=AC,高AD、BE交于H,引EF⊥BC,F为垂足,延长AD至G,使DG=EF,取AH的中点L。求证:BL⊥BG。

B【分析】设AL?LH?y,HD?x,DG?EF?a,于是

?aBFxBD??2aaa?BF?CF,由①+③得?2?a(x?y)?x(x?2y)?xx?2y?aCFx?2yCD??

aaa2

由①?②得2?BD2?x(x?2y)?a(x?y)?DG?DL,于是BL?BG。xx?2yBD

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12.(20分)第四大题:在3?3在正方形表的格子中,填上九个不同的自然数,使得每行的三个数相乘,每列的三个数相乘,所得到的六个乘积彼此都相等(我们用P表示这个乘积)

①请给出一种填法,使得每行、每列、每条对角线上三个数的乘积(共8个)全相等;②试确定P能取2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016这七个数中的哪些值?

③试求出P的最小值,并说明理由。

【分析】①如图所示的九个数即符合要求

28

23

24212529262722

②P至少含有9个不同的正约数,而2010?2?3?5?67有16个约数;2011是质数;2012?2?2?503有六个不同的约数;2013?3?11?61有8个不同的约数;2014?2?19?53有8个不同的约数;2015?5?13?31共有8个不同的约数;2016?25?32?7有36个不同的约数。因此可能的只有2010或者2016。下面针对这两个数举例子:

235?67

2?3

1223223?722?321P?2010时,5673?672?5P?2016时,23732?725

③一般情况下,我们可以通过上下两行交换位置或者左右两列交换位置把表中最小的数移动到右下角,从而仍然具备题中要求。所以可以设五个不同正整数a,b,c,d,e中e最小,如图所示,a

c

P

acbdPbdPabP,e

PPabcd?e?P,解出来得到P。abcde于是可以得到一个结论

当e?1时P?2?3?4?5?120;

3?4?5?6当e?2时,P?180;2

4?5?6?7当e?3时,P?280;3

5?6?7?8当e?4时,P?420;4

abcd当e?5时P?6?7?8?336e

P?120时,举例如下:

2

341558

1206

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