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2012全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)

发布时间:2014-06-07 09:54:03  

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1

、如果a??21?1

2?3?a的值为【 】

(A

)(B

(C)2 (D

)解:B∵3?a?1?2∴11?2?1,2??2?1,3?a3?a112?3?a?2?1因此原式=2

2、 在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x?y?2x?2y的整数点坐标(x,y)的个数为【 】

(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

解:B解法一:x?y?2x?2y化为?x?1???y?1??2 222222

因为x、y均为整数,因此?x?1???y?1??0或?x?1???y?1??1或?x?1???y?1??2 222222

分别解得??x?1?x?0?x?2或??y?1y?1???y?1

22?x?1?x?1?x?0?x?2?x?0?x?2或?所以共有9个整点 ??????y?0?y?2?y?2?y?2?y?0?y?022解法二:x?y?2x?2y化为?x?1???y?1??2它表示以点(1,1)为圆心,2为半径的圆内,

画图可知,这个圆内有9个(0,2)、(0,1)(0,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)

3、如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.?ADC?30?,AD = 3,BD = 5,则CD的长为【 】

(A)2 (B)4 (C)2 (D)

4.5

解:图,以CD为边作等边△CDE,连接AE. 由于AC = BC,CD = CE,

?BCD??BCA??ACD??DCE??ACD??ACE.所以 △BCD≌△ACE, BD = AE. 又因为?ADC?30?,所以?ADE?90?.在Rt△ADE中,AE?5,AD?3,

于是

?4,所以CD = DE = 4.

4、如果关于x的方程x2?px?q?0的正根小于3,那么这样的方程的个数是【 】 (p,q是正整数)

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

解:C∵p、q是正整数∴??p?4q?0,x1?x2??q?0∴正根为2p?p2?4q?3 2

解得q?9?3p∴??p?1?p?1?p?1?p?1?p?1?p?2?p?2 ,?,?,?,?,?,?q?1q?3q?5??q?2??q?4??q?1?q?2

111,,…,共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a,b,然后231005、黑板上写有1,

删去a,b,并在黑板上写上数a?b?ab,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是【 】

(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99

解:C a?b?ab?(a?1)(b?1)?1∵计算结果与顺序无关 111(1?1)(?1)?1?2(2?1)(?1)?1?3(3?1)(?1)?1?4,…… ,,∴顺次计算得:234

1(99?1)(?1)?1?100 100

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、如果a,b,c是正数,且满足a?b?c?9,

值为 .

11110abc???,那么??的a?bb?cc?a9b?cc?aa?b

11110cab两边乘以a?b?c?9得3???????10即a?bb?cc?a9a?bb?cc?a

cab???7 a?bb?cc?a

7、如图,⊙O的半径为20,A是⊙O上一点.以OA为对角线作矩形OBAC,且OC?12.延长BC,解:7在

28

与⊙O分别交于D,E两点,则CE?BD的值等于 5 .

解:如图,设DE的中点为M,连接OM,则OM?DE.

因为OB??16,所以OM?OB?OC16?1248??,

BC205

CM??3664,BM?. 55

643628??. 555CE?BD?(EM?CM)?(DM?BM)?BM?CM?8、设n为整数,且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除,则所有n的个数为解:1600n?n?3n?n?3?n?3

44?2??2??2?2?n2?n4?5n2?9 因此5|n?9,所以n?1(mod5),因此n?5k?1,或5k?22012?5?402??2所以共有

2012-402=1600个数

(a,b,c)(x,y,z)9、如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若和(均为三角形数,且a≤b≤c,则111abca的取值范围是 . c

解:3?a??1 2c

?a?b?c?依题意得:?111,所以b?c?a,代入(2)得 ????bca

11111????,两边乘以a得 abcc?ac

1?aac?aa222化简得a?3ac?c?0,两边除以c得 ?即?c?accc?a

23?a3?3?5aaa?a?????1 另一方面:a≤b≤c,所以?1综合得???3?1?0所以2c22cccc??

(a,b)10、已知n是偶数,且1≤n≤100.若有唯一的正整数对使得a?b?n成立,则这样的n的个

数为 .

22n?a?b??a?b??a?b? 解:依题意得22

由于n是偶数,a+b、a-b同奇偶,所以n是4的倍数当1≤n≤100时,4的倍数共有25个

但是4?2?2,24?2?12?4?6,32?2?16?4?8,40?2?20?4?10,

48?2?24?4?12?6?8,56?2?28?4?14,60?2?30?6?10,64?2?32?4?16 72?2?36?4?18?6?12,80?2?40?4?20?8?10,88?2?44?4?22

96?2?48?4?24?6?16?8?12

这些不符合要求,因此这样的n有25-12=13个

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11、如图,在平面直角坐标系xOy中,AO?8,AB?AC,sin?ABC?4.CD与y轴交于点E,5

且S△COE?S△ADE.已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

解:因为sin∠ABC =AO4?,AO?8,所以AB = 10.

AB5

?6.易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6. 由勾股定理,得BO?

?8),B(6,0),C(?6,0).设点D的坐标为(m,n).由S△COE?S△ADE,得S△CDB?S△AOB.于是A(0,

所以 1111BC?n?AO?BO,?12(?n)??8?6.解得 n??4. 因此D为AB的中点,点 D的2222

8

3坐标为(3, 因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,所以点E的坐标为(0, ?).?4).

设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6).将点E的坐标代入,解得a =2282. 故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y?x?. 27273

12、如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心. 求证:

(1)OI是△IBD的外接圆的切线;(2)AB+AD=

2BD.

(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

?CID??IAD??IDA,

?CDI??CDB??BDI??BAC??IDA??IAD??IDA.

所以?CID??CDI, CI = CD. 同理,CI = CB .

故点C是△IBD的外心.连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,

所以OI⊥AC,即OI⊥CI .故OI是△IBD外接圆的切线.

(2)如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.由BC?CD,知OC⊥BD.

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以Rt△BCF≌Rt△AIE.所以BF = AE. 又因为I是△ABD的内心,所以AB?AD?BD?2AE?BD?BD?2BF?BD.故AB?AD?2BD.

13、给定一个正整数n,凸n边形中最多有多少个内角等于150??并说明理由.

解:

14、将2,3,…,n(n≥2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a,b,c(可以相同)使得a?c,求n的最小值.

解:当n?2?1时,把2, 3, ,n分成如下两个数组: 16b

 3, ,2 2?1, , 2?1?和?4, 5, , 2?1?. ?2,88168

 3, ,2 2?1, , 2?1中,由于3?2(在数组2,,2)?2?1,

所以其中不存在数a,b,c,使得a?c. b?8816?388216

 5, , 2?1中,由于44?28?1, 在数组4,

所以其中不存在数a,b,c,使得a?c.

所以,n?2.

下面证明当n?2时,满足题设条件.

不妨设2在第一组,若22?4也在第一组,则结论已经成立.故不妨设22?4在第二组. 同理可设44?28在第一组,(2)?2在第二组. 821616?8?b16

b?8,c?2,此时a?c;如果8在第二组,我们取此时考虑数8.如果8在第一组,我们取a?2,

a?4,b?8,c?216,此时ab?c.

综上,n?2满足题设条件.

所以,n的最小值为2.

注:也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536. 16168b

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