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几个数学问题

发布时间:2014-06-07 09:56:18  

数 学

一、4月20日(周日)的最后一题,第(3)小题有三种情况,第(4)小题也有三种情况. 具体的解答过程如下:

21.(16分)如图1,在□ABCD中,AB=13,BC=50,BC边上的高为12.点P从点B出发,沿B-A-D-A运动,沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度,沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度.点Q从点B出发沿BC方向运动,速度为每秒5个单位长度. P,Q两点同时出发,当点Q到达点C时,P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为(秒)t.连结PQ.

(1)当点P沿A-D-A运动时,求AP的长(用含t的代数式表示).

(2)连结AQ,在点P沿B-A-D运动过程中,当点P与点B、点A不重合时,记△APQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式.

(3)过点Q作QR∥AB,交AD于点R,连结BR,如图2.在点P沿B-A-D运动过程中,当线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分时t的值.

(4)设点C,D关于直线PQ的对称点分别为C',D',直接写出C'D'//BC时t的值.

解:(1)当点P沿A?D运动时,AP=8t?8.

当点P沿D?A运动时,AP=108?8t.

(2)当点P与点A重合时,BP=AB,t=1.当点P与点D重合时,AP=AD,8t?8=50,29.当0<t<1时,如图①.作过点Q作QE⊥AB于点E. 4

11S△ABQ=AB?QE=BQ?12, 22

12BQ12?5t60t∴QE===. AB1313

2∴S=?30t?30t.

29当1<t≤时,如图②. 4

11S=AP?12=?(8t?8)?12,∴S=48t?48. 22

(3)当点P与点R重合时,AP=BQ,8t?8=5t,

8t=. 3

当0<t≤1时,如图③.∵S?BPM=S?BQM, t=

∴PM=QM.∵AB∥QR,∴△BPM≌△RQM.

∴BP=AB,∴13t=13,解得t=1

当1<t≤时,如图④.∵BR平分阴影部分面积,

8

3

∴P与点R重合.∴t=. 8

3

829时,如图⑤.∵S?ABR=S?QBR, 34

∴S?ABR<S四边形BQPR. 当<t≤

∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分.

8

3

95121(4)t=7,t=,=. 提示:当C′D′在BC上方且C′D′∥BC时,如图⑥.QC1313

95=OC,∴50?5t=58?8t?13,或50?5t=8t?58?13,解得t=7或t=.当C′D′在13

121BC下方且C′D′∥BC时,如图⑦.OD=PD,∴50?5t?13=8t?58,解得t=.

13综上,当t=1或时,线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分.

二、两个概率问题及解答:

1. 小国同学的父亲参加旅游团到某地旅游,准备买某种礼物送给小国.据了解,沿旅游线路依次有A,B,C三个地点可以买到此种礼物,其质量相当,价格各不相同,但不知哪家更便宜.由于时间关系,随团旅游车不会掉头行驶.

(1)若到A处就购买,写出买到最低价格礼物的概率;

(2)小国同学的父亲认为,如果到A处不买,到B处发现比A处便宜就马上购买,否则到C处购买,这样更有希望买到最低价格的礼物.这个想法是否正确?试通过树状图分析说明.

2. 某小区为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类,分别记为a,b,

c,并且设置了相应的垃圾箱,“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分别记为A,B,C.

(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱,请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率;

(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

试估计“厨余垃圾”投放正确的概率.

31由树状图可知垃圾投放正确的概率为 93

4002(2)“厨余垃圾”投放正确的概率为 400+100+1003

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