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试卷及答案四

发布时间:2014-06-07 09:56:25  

《高等代数下》试卷及答案四

一、填空(每小题2分,共10分)

1.设向量空间V

2.A,B均为3阶方阵,A的特征值为1,2,3,?{(x1,x2,xn)|x1?x2??xn?0,xi?R},则V是 B??1,则A*B?B?

3.设二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x22?x32?2x1x2?tx2x3正定,则t满足。

4.设矩阵A满足条件A?5A?6E?0,则矩阵A的特征值是

5.三维线性空间V的秩为2,则零度为 2

二、单项选择

1.设?是n阶可逆矩阵A的属于特征值?的特征向量,在下列矩阵中,?不是( ) 的特征向量 (A)(A?E) (B)-3A (C)A (D)A

2.已知A,B为同阶正交矩阵,则下列( )是正交阵。

(A)

3, 设A为n 阶方阵,则下列结论不成立的是( )

(A)若A可逆,则矩阵A的属于特征值?的特征向量也是矩阵2*TA?B (B)A-B (C)AB (D)kA A?1的属于特征值

A??E 1?的特征向量 (B)若矩阵A存在属于特征值?的n个线性无关的特征向量,则

(C)矩阵A的属于特征值?的全部特征向量为齐次线性方程组(?E?A)X?0的全部解

(D)A与

AT有相同的特征值

4.若A为n阶实对称矩阵,P为n阶正交阵,则P

(A)实对称阵 (B)正交阵

(C)非奇异阵 (D)奇异阵

5.设A,B都是正定阵,则( )

(A)AB,A+B一定都是正定阵

(B)AB是正定阵,A+B不一定是正定矩阵

(C)AB不一定是正定阵,A+B是正定阵

(D)AB,A+B都不是正定阵 ?1AP为( )。

6.当( )时,

?aA??

?b0??c?

是正交阵。

(A)a?1,b?2,c?3, (B)a?b?c?1(C)a?1,b?0,c??1 (D)a?b?1,c?0

7.设A,B均为n阶矩阵,且A与B合同,,则( ) (A)A,B有相同的特征值 (B)A,B 相似 (C)A?B (D)r(A)?r(B)

8.

R3上的线性变换T在基???1?21??0???,??0??

???0?

?下的矩阵为 ?1

1

1??1?,?1?????0?A??0

12?0?0????????1????

1?1

1??

则基在?1,2?2,?3下的矩阵为( )

4(A)??

1

41?41?21?

?2?011?? (B)??1??0

4

4?

??1

1??

(D)?12?

1?2

1??

??1?2

1? (C)???

?0?

2?

?0

??1

?1

1??

2?2

?

9.对于n阶实对称矩阵

A,结论( )正确。

(A)

A一定有n个不同的特征值

(B)A一定有n个相同的特征值

(C)必存在正交矩阵P,使P?1

AP成为对角矩阵

(D)A的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的

10. 设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,则矩阵

A

B 的充分条件是( )

(A)A与B有相同的特征值

(B)A与B有相同的特征向量 (C)A与B与同一矩阵相似 (D)A一定有n个不同的特征值

三、计算题(每小题8分,共64分) 1.设n阶矩阵

(n?

2) ??111? A??

111?

?? ???1

1

1??

求A的特征值和特征向量,并判断A是否相似于对角阵

2.已知向量?

?(1,k,1)T是矩阵?211?

?1A???1

21?的逆矩阵的特征向量,求常数k。

??A?

11

2??

2?

4?2? ??

3.设 4维空间的两组基为

(A)?1??0?

?1????0????0?,?2?0??2?????0????0??0??1?,?3????2????0?,?4?1??0?????1????2?(B)?1??2??1????0????0??2??1?,?2????0????0??0??0?,?3????1????0??0? ?0?,?4????3????2?

1)求基(A)到(B)的过渡矩阵

2)求向量?

4.设 ?4?1?6?2?2?3在(A)下的坐标。 ?1,?2,?3为线性空间的一组基,线性变换T在基?1,?2,?3下的矩阵为

2

1

0?1???在基?1,?2,?3下的坐标为(1,2,?3),求T?在基?1,?2,?3下的坐标。 0?1???1???1?1?

5.设矩阵?1?A??x

??3?

?1?14?31??,已知y?5??A有3个线性无关的特征向量,??2是A的二重特征值,试求可逆矩阵P,使得P

AP为对角阵

?101???26.设矩阵A?020,矩阵B?(kE?A),其中k为实数,求对角阵?,使B与? ???101???

相似,并求k为何值时,B为正定阵

7.已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为8,2,2,对应特征值??2的特征向量为

(1)??8对应的特征向量X3;(2)问A是否与对角矩阵相似,X1?(1,1,1)T,X2?(?1,1,0)T,求:

若相似,给出与之相似的对角矩阵?,并求出矩阵P,使P

8.将二次型

22 f(x1,x2,x3)?x12?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3化为标准型,并写出变换矩阵。?1?P?A。

四、证明题(6分)

设令?

答案

一、填空 n-1 ;-84 ;

A是3阶实对称方阵,A有n个互异的特征值其?1,?2,?3,对应的特征向量依次为?1,?2,?3。

??1??2??3,证明:?,A?,A2?线性无关

t? 2 ,3; 1 ,

二、单项选择 D C C A C C D A C C 三、计算题

1、解:

A??E?

1??11

11??1

10??

111??

?

n??n??n??

11??1

111??

?(n??)

100

1??0

??n(n??)

所以A的特征值为

?1??2?

?

?n?1?0,?n?n(3分)

??1????0??1???????0???

??1?

??(2分) ?0?

?cn?1?0?

?????1???

代入特征值?

??1?

?0,A的特征向量为?

?1?

c1?0??c2

?????0???

代入特征值?

?1???1

?n,A的特征向量为?? (2分)

k1???????1???

?2??1?

121

1??1

?的逆矩阵A的特征向量,所以也是矩阵A的1?2??

A有n个线性无关的特征向量,所以A可以对角化 (1分) 2、解:由于向量?

?(1,k,1)T是矩阵A??1

特征向量,根据特征值和特征向量的定义,得:

代入得

A????,(3分)

?211??1??1???????121k??(2分) ?????k?,

?112??1??1???????

得方程组

?2?k?1????1?2k?1??k 解得:k??2,ork?1(2分)

?1?k?2???

??2,k?1时,向量?是A?1的特征向量(1分)

???1?2?3?4??1所以当k3、解:1)过渡矩阵C

对矩阵

???1?2?3?4? ??1?2?3?4|?1?2?3?4?作初等变换化为行最简形 0

1

00001?132300432?300231?320?1?3?(2分) ?2?3???2?1??得?10100??0???0?0?

?1??3?所以过渡矩阵?2C??3??0

?0?432?300231?320?1?3??2? (2分) 3???2?1??

2)??4?1?6?2?2?3???1?2?3?4???6?4???(2分) ??2????0?故??6??4??????2? (2分) 在A下的坐标为 6??C???3???2???????4??0??0???

?12?1???04、解:T??T(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)?11??(4分)

?101???

?8???所以T?在基?1,?2,?3下的坐标?1 (4分) ????2???

5、解:因为A有3个线性无关的特征向量,??2是A的二重特征值,故A的属于??2线性无关的特征向量必有两个,秩

经行初等变换得:

1. r(2E?A)?1 ( 2分 ) 1

?2

3?1???y??3???1??0?0?1x?20? ??x?y??0??1?1?(2E?A)???x?3?

解得x?2,y??2 (2分)

?1

4

?31??,求得特征值?1?2?5???1所以矩阵?A??2??3?

对于特征值?1??2?2,?3?6 ??2?2,解得特征向量p1?(1,?1,0)T,p2?(1,0,1)T ( 2分)

?3?6的特征向量p3?(1,?2,3)T

?1 所以可逆矩阵?P???1

?0?

则有

?2?P?1AP??0

?0?0200? (2分) ?0?6??1011?? ?2?3??

6、解:先求A的特征值,得

??

102??0101??2 ???(??2)

得A的特征值?1??2?2,?3?0(2分)

故得B的特征值?1??2?(k?2)2,?3?k2 (2分)

(k?2)2

0?? (2分) 0?2?(k?2)?0?k2所求对角阵????0?0?

当k??2andk?0 B为正定阵(2分)

7、解:由题意

得方程组X3X3与X2,X1正交,令X3?(x1,x2,x3)T T11X2?X3TX1?0解得X3?(?,?,1)T (3分) 22

?2??????2??相似, (2分) ?8??由于A有三个线性无关的特征向量,所以A与对角矩阵

??1

?

P??1??1????110?121?21?????????,使P?1?P?A。 (3分)

8、解:二次型的矩阵为?1?A???2

?2?

2?24?4?22??,则?4?4??A的特征多项式 ??1

?E?A?2

?2(1分) ??444??2(??9)??4

由此得

对于?1

A的特征值?1??2?0,?3?9(1分) ??2?0,解齐次线性方程组(0E?A)X?0,得基础解系 ?2???2????? (1分) p1??1?,p2??0??0??1?????

对于?3?9,得特征向量p3?(1,?2,2)T (1分)

?1??3??? (1分) 2??,?2???3???2???????3?????正交化,单位化得:??1?,?2?????0????????0对角阵??????0?? (1分)

?9??

Q???0?1?3??2???3?2?3??所以得正交变换的矩阵为 (1分)

二次型的标准形为

也可用配方法

四、证明:?

f?9y3 (1分) ??1??2??3(1) 33A??A(?1??2??3)?????1?1??2?2(2 )A2??A2(?1??2??3)??2

1?1??22?2??32?3(3)

,(2),(3) ?k2A??k3A2??0,分别代入(1)(3分)令k1?

得 k1?k2?k3?0 (3分)

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