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2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案

发布时间:2014-06-07 13:45:31  

2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案

(理工类)

一、填空:(本题15分,每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)

1. 设xn?1?1115,则limxn? 。 ????n??231?2???n2πsinx4,则πxf??x?dx? ?1 。 x?22. 已知f?x?的一个原函数为

??3.

4. ?edx?。 xln2x设a,b为非零向量,且满足(a + 3b)⊥(7a – 5b),(a – 4b)⊥(7a – 2b),则a与b的夹角为 ? 。 35. 根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量C1?t?的估计公式为(单位:十亿桶/年):

C1?t???0.00137t2?0.0781t?6.90,

式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为: ?15?t?15,

C2?t???0.00137t2?0.0721t?6.87,?15?t?15,

则自1995年至2015年共节省原油 12亿桶 。

二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)

?1?cosx,?1. 设函数f?x???x??xg?x?,x?0,x?0.其中g?x?是有界函数,则f?x?在x?0点处

( C )。

(A)极限不存在; (B)极限存在,但不连续;

(C)连续但不可导; (D)可导。

2. 设曲线的极坐标方程为r?1?cos?,则在其上对应于??

标方程为( A )。

(A)x?1?0; (B)y?1?0;

(C)x?y?0; (D)x?y?0。 2?点处的切线的直角坐3

dx33. 设函数f?x?连续,则。 tfx2?t2dt?( D )?dx0??

?f?u?du?xf?x?; (B)xf?0?;

(C)xf?x?; (D)x?f?u?du。 (A)xx2323032x2

4. 设axdx?bdy

x2?y2为一函数的全微分,则下面正确的答案为( C )。

(A)a??1,b?1; (B)a?1,b??1;

(C)a??2,b??1; (D)a??2,b?1。

??x2y2z2

?2?2?1,z?0?,并取上侧为正,则不等于零的曲面5. 设曲面Σ???x,y,z123??

积分为:( B )。

(A)

(C)2x??dydz; (B)??xdydz; ΣΣ??zdxdz; (D)??ydxdy。

ΣΣ

1??3?n?n26三、计算lim??n?n??e??n?。(本题7分) n??2????

1??3?x?x126解:先求lim??x?x??e??x?。令t?,当x???时,t?0?,则 x???2?x???

12?t?1?t?t?e??t6?1???x?2?lim??x3?x2??ex??x6??lim??x???2?t3???t?0

5312t3t1t3tte?e?221?t6?t6?lim??lim?。2?t?0t?0363t

从而

1??3?1n?n2lim??n?n??e??n6??。 n??2????6

四、设f?x??arctan

解:f??x???1?x?5?,求f?0?。(本题6分) 1?x121?xf??x???1。 (※) ,即21?x??

等式(※)两边再对x求2阶导数得:

?1?x?f????x??4xf???x??2f??x??0, 2

令x?0,得f????0??2。

等式(※)两边对x求4阶导数得:1?x

令x?0,得f?5??2?f???x??8xf???x??12f????x??0, 54?0???12f????0???24。

五、对k的不同取值,分别讨论方程x3?3kx2?1?0在区间?0,???内根的个数。(本题7分)

解:设f?x??x?3kx?1,0?x???,f??x??3x?x?2k?, 32

⑴ 当k?0时,f??x??0,即f?x?在[0,??)上单调增加,又f?0??1,故原方程在区间?0,???内无根;

⑵ 当k?0时:0?x?2k,f??x??0,f?x?单调减少;

2k?x,f??x??0,f?x?单调增加。

3所以x?2k是f?x?的极小值点,极小值f?2k??1?4k。

3于是,当1?4k?0,即0?k?

2时,原方程在区间?0,???内无根; 2

当1?4k?0,即k?

32时,原方程在区间?0,???内有唯一的根; 22时,原方程在区间?0,???内有两个根。 2 当1?4k?0,即k?3

六、设a,b均为常数且a??2,a?0,问a,b为何值时,有

?

解:

1??11?2x2?bx?a?2?1dx?ln1?xdx。(本题7分) ???0?x2x?a????ln?1?x?dx??ln?1?x?dx??ln?1?x?dx211

000

??1?x?ln?1?x??x??1?x?ln?1?x??x?2?ln2?1?;0000

???b?a?x?a???1?2x2?bx?a?2?b?a??1dx?dx????dx??1???11x2x?ax2x?ax2x?a???? Bx?limln,1B???1??b?a?1?2x?a?2??1111

因为极限存在,故必有b?a?0,即b?a。所以有

?

由题意得

??

1

?2x2?bx?a?112?a

?1dx?ln?ln?ln。 ??

22?a2?x2x?a?

2?ln2?1??ln

2?a

, 2

即b?a?8e?2?2。 七、设a1??12,an?1?题8分)

证明:因为an?1?an?

an?12,n?1,2,3,?,证明:liman存在并求其值。(本

n??

an?12?an?1?12?

an?an?1

an?12?an?1?12

,所以

an?1?an与an?an?1的符号相同,且类似可得与a2?a1同号。

而a2?a1?于是

① 当a1?0时,有a2?a1,即数列?an?单调增加; ② 当0?a1?4时,也有a2?a1,数列?an?单调增加; ③ 当a1?4时,有a2?a1,数列?an?单调减少; ④ 当a1?4时,an?4,n?1,2,3,?。 又an?1?4?

a1?12?a1?

a1?12?a1

2

a1?12?a1

??

?a1?4??a1?3?

a1?12?a1

an?12?4?

an?4an?12?4

,即an?1?4与a1?4同号。

所以,当a1?0时,或0?a1?4时,an?4,n?1,2,3,?,即数列?an?有上界,此时数列?an?单调增加且有上界,?an?收敛。

当a1?4时,an?4,n?1,2,3,?,数列?an?有下界,此时数列?an?单调减少且有下界,?an?收敛。

当a1?4时,an?4,n?1,2,3,?,常数数列?an?显然收敛。 综上所述,liman存在,设其值为A,故

n??

A?liman?1?liman?12?n??n??A?12,

有A2?A?12?0,?A?4??A?3??0,得A = 4(A = -3舍去,因an?0,n?2,3,?)。

八、设f?x?是区间?a,a?2?上的函数,且f?x?1,f???x??1,证明:f??x?2,x??a,a?2?。(本题7分)

证明:对x??a,a?2?,f的泰勒公式为:

f?t??f?x??f??x???t?x??

当t?a?2,a时,分别有 12f???????t?x?,???a,a?2?。 2!

f?a?2??f?x??f??x??a?2?x??

f?a??f?x??f??x??a?x??

两式相减得 12f????1??a?2?x?,ξ1??x,a?2?; 212f????1??a?x?,ξ2??a,x?。 2

1122f????1??a?2?x??f????2??a?x?, 22f?a?2??f?a??2f??x??

f??x??

?

?11122f?a?2??f?a??f????1??a?2?x??f????2??a?x?222 1?1122????????????????fa?2?fa?f?a?2?x?f?a?x12?2?22??1?11122?2??????2?a?2?x?a?x?2?2?a?x?2?a?x???2?22?2

?2??a?x??a?2?x???

而?a?x??a?2?x??0,故f??x?2,x??a,a?2?。

(附:若取f?x??1?x?a?2?1,x??a,a?2?,则f??x??x?a,f???x??1。显然2

f?x??1,f??x??2)。

?2z?2z九、设z?z?x,y?是由z?e?xy所确定的二元函数,求:2,。(本题6分) ?x?y?xz

解:将等式z?e?xy两边分别对x,y求偏导数: z

?z?z?zy。 ?ez?y,??x?x?x1?ez

?z?z?zx。 ?ez?x,??y?y?y1?ez

?z

?2z?y2ez?x。 ??z2z3?x21?e1?e?yez?2z??x?y

十、求1?ez?yez?z?y1?ez21?xyez??。 z3z1?e1?e?L?x?1??y2?1位于上半平面,从点??2,0?到ydx?xdy,其中曲线L是9x2?y22

?4,0?的部分。(本题7分)

?Px2?y2?Qyx??解:P?x,y??2,,,即积分与路??Qx,y??222222?y?xx?yx?yx?y径无关。

但因在点?0,0?处P?x,y?与Q?x,y?无定义,故应选积分路径:从??2,0?到??2,1?再到?4,1?最后到?4,0?的折线段。于是

12dy40-4dyydx?xdydx????Lx2?y2?04?y2??2x2?1?116?y2

11?arctan?arctan4?arctan??2??arctan??。24

十一、计算I?xyz

Σ2dxdy?xy2dydz,其中Σ为由曲面z?x2?y2与z?1所围

成的封闭曲面的外侧。(本题7分)

解:对右端的第一个积分使用高斯公式

I1?xyz2dxdy????xy?2zdxdydz?8???xyzdxdydz

ΣΩΩ1

1?????8?2d??r3cos?sin?dr?2zdz?4?2d??r31?r4cos?sin?dr?。00r004用柱坐标111????

其中Ω是Σ所围的空间区域,Ω1是Ω位于第1卦限的部分。

对于右端的第二个积分

I2?xy2zdydz???xy2zdydz???xy2zdydz,

ΣΣ1Σ2

其中Σ1是平面z?1上x?y?1的部分上侧,显然22??xy

Σ12zdydz?0。Σ2是

z?x2?y2?z?1?的外侧,

??Σ2??z?xy2zdydz???xy2z???dxdy????xy2x2?y2?-2x?dxdy?0, ??x?Σ2x2?y2?1??

所以I?11?0?。 44

22十二、在曲面z?4?x?y上求一点P,使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并

被圆柱面?x?1??y2?1所围空间区域的体积最小。(本题8分) 2

解:因为V?V1?V2,其中V1和V2分别是以曲面z?4?x?y和P点处的切平面为顶,以z?0为底,以圆柱面?x?1??y2?1为侧面的区域的体积,且V1是常222

数,所以求V的最小值可转化为求V2的最大值。

为 设点P的坐标为??,?,??,则曲面在该点处的法向量为?2?,2?,?1?,切平面方程

2ξ?x?ξ??2η?y?η???z?ζ??0

又??4????,故切平面方程为 22

z?2ξx?2ηy?4?ξ2?η2。

于是

V2???zdxdy????2ξx?2ηy?4?ξ2?η2?dxdy

DD

???4????22??2???ξx?ηy?dxdy

D

其中D??x,yx?1??y?1。 22??

利用极坐标计算

???ξx?ηy?dxdy??Dπ2π?2d??

32cos?0?ξcos??ηsin??r2dr3?8???????。4?223 ??π

2π?2?ξcos??ηsin??8cos3?d??2?

22即V2?ξ,η??π4?2ξ?ξ?η

由 ??。

??V2??ξ?π?2?2ξ??0,? ??V?2??2πη?0,???y

解得唯一驻点为??1,??0。对应的V2?1,0??5π。

又当??,??为区域D边界上的点时,有

???1?2??2?1,即?2?2???2?0,

所以V2恒为常数4?。可知V2?ξ,η?只在区域D的内部取到最大值。而点(1,0)是D内的唯一驻点,故V2在此唯一驻点处的值5?是最大值。

此时切点P的坐标?1,0,5?为所求。切平面方程为2x?z?3?0,最小体积为

V???4?x?ydxdy?5π??d??D?22?π2π?22cos?0r3d????3?????。 22

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