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“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题、答案及评分标准

发布时间:2014-06-08 14:07:39  

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛

(天津赛区)试题参考答案及评分标准

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)

(1)已知非零实数a,b 满足

2a?4?b?2?4?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

【答】C.

解:由题设知a≥3,所以,题设的等式

为b?2??0,于是a?3,b??2,从而a?b=1.

(2)如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上

的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).

(A

(B

(C)1 (D)2

【答】A.

解:因为△BOC ∽ △ABC,所以BOBC1a?,即?, ABACaa?1

2所以,a?a?1?0.由a?

0,解得a?. (3)将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组?ax?by?3, 只有正数解的概率为( ). ??x?2y?2

(A)12513 (B) (C) (D) 1291836

初中数学竞赛复赛试题答案第1页(共8页)

【答】D.

解:当2a?b?0时,a为正整数,方程组无解.

6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时,方程组的解为? 2a?3?y?.?2a?b?

?2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知,得?即?a?,或?a?, 2a?322???0,?????2a?b?b?3,?b?3.

由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

3,4,5,6,?a?2,?a?1,共有 5×2=10种情况;或共3种情况. ??2,5,6,?b?1,?b?4,

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为13. 36

(4)如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?.动点P从点B出发, 沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数,函数的图象如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B. 解:根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故

S△ABC=1×8×4=16. 2

22(5)关于x,y的方程x?xy?2y?29的整数解(x,y)的组数为( ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

【答】C.

初中数学竞赛复赛试题答案第2页(共8页)

解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为

x2?yx?(2y2?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数.

由 ??y2?4(2y2?29)??7y2?116≥0,

解得 y2≤116?16.57

.于是 显然,只有y2?16时,??4是完全平方数,符合要求.

当y?4时,原方程为x?4x?3?0,此时x1??1,x2??3;

当y=-4时,原方程为x?4x?3?0,此时x3?1,x4?3.

所以,原方程的整数解为 22

?x1??1, ?y?4;?1?x2??3, ?y?4;?2?x3?1, ?y??4;?3?x4?3, ?y??4.?4

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

(6)一个自行车的新轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎. 如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 .

【答】3750.

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为kk,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前50003000

走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

ky?kx??k,??50003000 ?kykx???k,??50003000

初中数学竞赛复赛试题答案第3页(共8页)

k(x?y)k(x?y)??2k, 50003000

2则 x?y??3750. 11?50003000两式相加,得

(7)已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交

AH于F,G两点,连接FG交AB于点H,则的值为 . AB

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF . 由题设知AC?11AD,有AB?AE,在△FHA和△EFA中, 33

?EFA??FHA?90?,?FAH??EAF.

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA, AHAF?. AFAE

而AF?AB,所以AH1?. AB3(8)已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个互不相同的整数,若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b的值为 .

【答】 10.

解:因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009,且a1,a2,a3,a4,a5是五个不同的整数,所以b?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也是五个不同的整数.

又因为2009?1???1??7???7??41,所以

b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41.

由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10.

初中数学竞赛复赛试题答案第4页(共8页)

(9)如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于

【答】. 7

解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 .

故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且?ACB?90?.

作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由?ECF?

BF=20-x.由于EF∥AC,所以 1?ACB?45?,得CF=x,于是2

EFBF?, ACBC

x20?x?即 , 1520

60解得x?

.所以CE??. 77

(10)10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个

人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的

两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报

出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数

是 .

【答】?2.

解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8?x.

于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9的人心里想的数是 16?(4?x)?12?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x,报3的人心里想的数是4?(8?x)??4?x.所以 x??4?x,解得x??2.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

(11)函数y?x?(2k?1)x?k的图象与x轴的两个交点是否都在直线x?1的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线x?1的右侧时k的取值范围.

初中数学竞赛复赛试题答案第5页(共8页)

22

解:不一定,例如,当k=0时,函数y?x2?x的图象与x轴的交点为(0,0)和 (1,0),不都在直线x?1的右侧. ??????5分

设函数y?x2?(2k?1)x?k2的图象与x轴的两交点的横坐标为x1,x2,则

x1?x2??(2k?1),x1x2?k2,

??≥0,?当且仅当满足如下条件 ?(x1?1)?(x2?1)?0, ??????10分

?(x?1)(x?1)?0?12

时,抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧.

?(2k?1)2?4k2≥0,?由 ??2k?1?0, 解之,得

?k2?2k?0,?

1?k≤,?4?1?k??, ??????15分 ?2??k??2或k?0.??

所以当k??2时,抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧.

??????20分

(12)如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.

解法1:结论是DF?EG.下面给出证明. ??????5分

因为?FCD??EAB,

所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.

于是可得 DF?BE?CD. AB

CE同理可得 EG?AD?. ??????10分

AB

初中数学竞赛复赛试题答案第6页(共8页)

ADBE?, CDCE

所以有BE?CD?AD?CE, 又因为tan?ACB?

于是可得 DF?EG. ??????20分

解法2:结论是DF?EG.下面给出证明.??? 5分

连接DE,因为?ADB??AEB?90?,

所以A,B,D,E四点共圆,故

?CED??ABC. ??????10分

又l是⊙O的过点C的切线,

所以?ACG??ABC. ??????15分

所以,?CED??ACG,

于是DE∥FG,故DF=EG. ??????20分

(13)在平面直角坐标系xOy中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”,求二次函数y?(x?90)2?4907的图象上所有“好点”的坐标.

解:设y?m,(x?90)?k,m,k都是非负整数,则 222

k2?m2?7?701?1?4907,

1?1即 (k?m)(k?m)?7?70?

则有 ?49. ?????10分 ?k?m?701,

?k?m?7;?k?m?4907, ??k?m?1.

?k2?2454, ?m?2453.?2?k1?354,解得 ??m1?347;

所以 ?x1?444,?x2??264,?x3?2544,?x4??2364, ?????y1?120409;?y2?120409;?y3?6017209;?y4?6017209.

故“好点”共有4个,它们的坐标是:

(444,120409),(?264,120409),(2544,6017209),(?2364,6017209). ??????20分

初中数学竞赛复赛试题答案第7页(共8页)

(14)有n个正整数a1,a2,,an满足如下条件:1?a1?a2??an?2009; 且a1,a2,,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.

解:设a1,a2,,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,i?1,2,,n.即 bi?(a1?a2??an)?ai. n?1

于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有

bi?bj?aj?ai

n?1,

从而 n?1(aj?ai). ??????5分

由于 b1?bn?an?a12008?是正整数,故 n?1n?1

3 n?12?251. ??????10分

由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2??

≥?n?1???n?1??

2??a2?a1? ??n?1??(n?1)2, 所以,(n?1)≤2008,于是n ≤45.

3 结合n?12?251,所以,n ≤9. ??????15分

另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,?,a8?8?7?1, a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.

综上所述,n的最大值为9. ??????20分

初中数学竞赛复赛试题答案第8页(共8页)

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