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第九讲 Laurent级数

发布时间:2014-06-10 08:08:47  

第五章
解析函数的洛朗(Laurent) 展式与孤立奇点
1、解析函数的Laurent展式 2、孤立奇点

§5.1 洛朗(Laurent)级数
? ? ?

1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数

?

4. 展开式的唯一性

由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析,则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 ?z - z0?<R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析,在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数,但如果在圆环域 R1<?z - z0?<R2 内解析, 那么,f (z)能否用级数表示呢? 1 在z ? 0, z ? 1都不解析, 但在 例如,f ( z ) ? z(1 ? z )
圆环域 : 0 ? z ? 1及0 ? z ? 1 ? 1内处处解析. 当0 ? z ? 1时, 1 1 1 ?z ? 1 1 2 n f (z) ? ? ? ? ? 1 ? z ? z ? ? ? z ?? z (1 ? z ) z 1 ? z z

当0 ? z ? 1 ? 1时, ? 1 1 ? 1 f (z) ? ? ? z (1 ? z ) 1 ? z ? 1 ? ( 1 ? z ) ? ? ? z ?1 ?1 1 ? 1 ? (1 ? z ) ? (1 ? z ) 2 ? ? ? (1 ? z ) n ? ? 1? z 1 n ?1 ? ? 1 ? (1 ? z ) ? ? ? (1 ? z ) ? ? 1? z 由此推想,若f (z) 在R 1<?z - z0?<R2 内解析, f (z) 可以展开成级数,只是这个级数含有负幂次项,即

?

?

f ( z ) ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ? ? c ? 1 ( z ? z 0 ) ?1 ? c 0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) n ? ?

本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析
的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。

2. 双边幂级数
定义 形如
n ? ??

---含有正负幂项的级数
?n ?1

? c (z ? z )
n 0

??

n

? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? ? ? c ?1 ( z ? z 0 )

       ? c0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 )n ? ?(1)

其中z0及cn (n ? 0,?1,?2,?)都是常数 ---双边幂级数
正幂项(包括常数项)部分:
n n c ( z ? z ) ? c ? c ( z ? z ) ? ? ? c ( z ? z ) ? ? ( 2) ?n 0 0 1 0 n 0 n? 0 ?

负幂项部分:
?n ?1 ?n c ( z ? z ) ? c ( z ? z ) ? ? ? c ( z ? z ) ? ? ( 3) ? ?n 0 ?1 0 ?n 0 n ?1 ?

级数(2)是一幂级数,设收敛半径为R2 , 则级数在 ?z - z0?=R2 内收敛,且和为s(z)+; 在?z - z0?=R 2外发散。

1 对于级数( 3), 若令? ? ,则 z ? z0 ? ? ?n n 2 n c ( z ? z ) ? c ? ? c ? ? c ? ? ? ? c ? ? ? ( 4) ? ?n 0 ? ?n ?1 ?2 ?n
n ?1 n ?1

对变数?级数(4)为幂级数, 设其收敛半径为 R, 则当? ? R级数收敛, ? ? R级数发散。
令 1 1 1 将? ? 代回得, ? R ? , 则级数(4) z ? z0 z ? z0 R1

当 z ? z0 ? R1收敛, 且和为s( z )-;当 z ? z0 ? R1发散.

当且仅当R1 ? R2时,级数( 2)及( 3)有公共收敛 区域即圆环域: R1 ? z ? z0 ? R2,此时, 称 ? cn (

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