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八年级下数学竞赛16

发布时间:2014-06-11 08:13:02  

数学竞赛(16)

一.选择题:

1.已知a为整数,关于x的方程ax?20?0的根是质数,且满足ax?7?a2,2

则a等于( )

A.2 B.2或5 C.±2 D.-2

2、已知一次函数y??1-2m?x?m?2,函数y随着x的增大而减小,且其图象不经过第一象限,则m的取值范围是( )

A、m?111 B、m?2 C、?m?2 D、?m?2 222

3、如图-4,△ABC中,AD是∠BAC内的一条射线,BE⊥AD,且△CHM可由△BEM旋转而得,延长CH交AD于F,则下列结论错误的是( )

A、BM=CM B、FM=1EH C、CF⊥AD D、 FM⊥BC 2

4、如图所示,两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR,如果O点正好是正方形ABCD的中心,而正方形OPQR可以绕O点旋转,那么它们重叠部分的面积为( )

1 2

2225.若关于x的方程x??c?的解是x1?c,x2?,则关于x的方程xcc

22x??a?的解是( ) x?1a?1

222a?1A.a, B.a?1, C.a, D. a, ca?1a?1a?1A、4 B、2 C、1 D、

a2?b2a?1.5b?3.25?2?6.△ABC的三边为a、b、c,且满足, cc2

则△ABC是 ( )

(A) 直角三角形 (B)等腰三角形

(C) 等边三角形 (D)以上答案都不对

4.用[x]表示不超过x的最大整数,则方程

4x?3[x]?2?0的解的个数为 ( )

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

6.直角三角形的三边长是a?b,a,a?b,并且a,b都是正整数,则三角形其

中一边的长可能是 ( )

A.61 B.71 C.81 D.91

二、填空题:

7、如图是重叠的两个直角三角形,将其中一个

直角三角形沿BC方向平移BE距离就得到此图,

已知AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分的面积是_____

8、如果两个数x和y满足x?y?3?85?, x则x+y的最小值是________,最大值是_______

9、现需在一段公路的一侧树立一些公益广告牌.第1个广告牌树立在这段

路的始端,而后每隔5米树立一个广告牌,这样刚好在这段路的未端可以

树立1个,此时广告牌就缺少21个,如果每隔5.5米树立1个,也刚好在

路的未端可以树立1个,这样广告牌只缺少1个,则这些公益广告牌有 个,

这段路长 米.

10.某学校建了一个无盖的长方体水箱,现在用一个半径为r的圆形砂轮打

磨内壁和箱底,则砂轮磨不到的部分的面积为___.

11.如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,

CF平分∠DCE,交AD于F,则AF的长为 .

12.已知非负实数a、b、c满足条件:3a+2b+c=4, 2a+b+3c=5, CBED

A设S=5a+4b+7c的最大值为m,最小值为n,则n-m等于 。

11.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC 内两点,AD平分∠BAC,

∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC= cm.

12.张斌卖起布来了,他自定零售价比批发价高40%.但他发现,由于他

所用的米尺不准确,他只赚了39%。张斌卖布时所用尺的1“米”比较

标准的1米多了 (精确到0.1mm).

13.若a,b均为正数,且

的三条边的长a2?b2,,那么4a2?9b2,2a2?b2是一个三角形这个三角形的面积等于 (用含a,b的代数式表示).

三、解答题:

13、设一个(n+1)位的正整数具有下述性质:该数的首位数字是6,去掉

这个6以后,所得的整数是原来的

的值。

14.已知关于x的方程(k2?1)x2?6(3k?1)x?72?0的解都是整数,

求整数k的值。

1,把这个数记作An+1,试求A3+A4+A5+A625

16.(本题10分)观察下列图形:

① ②

如果按这个规律一直排到第n个图形,请探究下列问题:

⑴设第n个图形和第n-1个图形中所有三角形的个数分别为an,an?1,

问:an和an?1它们之间有什么数量关系?请写出这个关系式。

⑵请你猜想用含n的代数式来表示an,并证明你的结论。

15. 如图,在正方形ABCD中,P是CD上一点,且AP=BC+CP,Q为CD中点,

求证:∠BAP=2∠QAD.

17.(本题12分)阅读下面的情景对话,然后解答问题:

老师:我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.

小华:等边三角形一定是奇异三角形!

小明:那直角三角形中是否存在奇异三角形呢?

问题(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的猜想:“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确?

问题(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b?a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a:b:c;

问题(3)如图,以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形,且AD=BD,若四边形ADBC内存在点E,使得AE=AD,CB=CE.

① 求证:△ACE是奇异三角形;

② 当△ACE是直角三角形时,求∠DBC的

度数.

B (第17题)

16、某公园门票价格,对达到一定人数的团队,按团体票优惠,现有A、B、C三个旅游团共72人,如果各团单独购票,门票依次为360元、384元、480元;如果三个团合起来购票,总共可少花72元.

⑴这三个旅游团各有多少人?

⑵在下面

16、(1)360+384+480-72=1152(元)

1152÷72=16(元/人),即团体票是每人16元,因为16不能整除360,所以A团未达到优惠人数,若三个团都未达到优惠人数,则三个团的人数比为360︰384︰480=15︰16︰20,即三个团的人数分别为1516 372 372、515120 372,这都不是整数(只要指出其中某一个不是整数即可),不可能,51

所以B、C两团至少有一个团本来就已达到优惠人数,这有两种可能:①只有C团达到;②B、C两团都达到.对于①,C团人数为480÷16=30(人),

A、B两团共有42人,A团人数为1516?42,B团人数为?42,不是整数,3131

不可能;所以必是②成立,即C团有30人,B团有24人,A团有18人.

(2)

(团体票人数限制

也可以是“须超过

18人”等)

参考答案(十三)

2一、选择题:1、D(ax=20=435,∴a=4,a=±2,x=5,代入ax?7?a检验可知) 22

2、D(∵y随着x的增大而减小∴1-2m<0, ∵图象不经过第一象限

∴m-2≤0,∴

5、D(∵x-1+1?m?2) 3、D 4、D(旋转至OP、OR过点A、B) 22222a+1=a-1+∴x-1=a-1或x-1= ∴x=a或x= +1=) x-1a-1a-1a-1a-1

92322213222226、B(a+b+=2ac+3bc ∴(a-2ac+c)+(b-3bc+ c)=0,即(a-c)+(b- c)=0) 442

二、填空题: 7、26cm (∵S阴=S梯形ABEH )

8、∵│x+y+3│+│5-x-y│=8,而(x+y+3)+(5-x-y)=8,∴x+y+3≥0 且5-x-y≥0 ∴-3≤x+y≤5,∴最小值为-3,最大值为5。

9、设广告牌有x个,则有5(x+21-1)=5.5(x+1-1),解得x=200,5.5x=1100m. 10、5343(r- 22?2222r)=20r-5πr (也可写为(20-π)r ) 4B

F A G 11、延长CE交DA的延长线于点G,过F作FH⊥CG于H,易求得 AG=CB=a,CG=5 a,∵CH=CD=a,∴HG=(5 -1)a,设AF=x, 222则FH=DF=a-x,FG=a+x,由勾股定理得(a+x)-(a-x)=[5 -1)a], 3-52∴5 )a,∴ a. 2

12、∵3a+2b+c=4, 2a+b+3c=5,∴a=6-5c,b=7c-7,∴S=5a+4b+7c=10c+2,

66∵非负实数a、b、c∴a=6-5c≥0,b=7c-7≥0,∴1≤c≤ ,∵S=10c+2,∴当c= 时, 55

S最大=14,当c=1时,S最小=12,即m=14,n=12,∴n-m=-2

.三、解答题:

13、设去掉这个6以后所得的整数为x,则原来的数为6310+x, n

1n由题意得: 6310+x=25x,∴24x= 6310,∴x=310, 4nn

当n=2时,x=25,∴A3=625;当n=3时,x=250,∴A4=6250,同理得A5=62500, A6=625000,∴A3+A4+A5+A6=625+6250+62500+625000=694375

14、(分类讨论)(一)当k-1=0时,为一元一次方程,把k=±1代入,发现方程都为整数解。(二)当k-1≠0时,为一元二次方程,此时用“十字相乘法”得

22

126[(k+1)x-12]2[(k-1)x-6]=0,∴x1= ,x2=要想使方程的解都是整数, k+1k-1

则要同时满足k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12且k-1=±1,±2,±3,±6 ∴k=2,0,3,-2,-5,综上所述,k= ±1,±2,0,3,,-5。

15、延长PC至E,使得CE=BC,连接AE交BC于F,易得AE平分∠BAP,

再证△ABF≌△ADQ。

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