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初中数学竞赛专项训练三角形边角关系

发布时间:2014-06-11 11:35:20  

初中数学竞赛专项训练

(命题及三角形边角不等关系)

一、选择题:

1、如图8-1,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD,则线段CD的长度的最小值是 ( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 5(5?1)

2、如图8-2,四边形ABCD中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7, 则BC+CD等于 ( )

A. 63 B. 5 C. 4 D. 3

3、如图8-3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF∥BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为 ( )

45 A. B. 33 C. 39 D. 15 7552 D C

60° B P 图8-3 图8-2

图8-1

4、已知△ABC的三个内角为A、B、C且α=A+B,β=C+A,γ=C+B,则α、β、γ中,锐角的个数最多为 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

5、如图8-4,矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 ( ) A. 4cm cm B. 5cm cm

C. 4cm 23cm D. 5cm 23cm 图8-4

6、一个三角形的三边长分别为a,a,b,另一个三角形的三边长分别为a,b,b,其中a>b,若两个三角a形的最小内角相等,则的值等于 ( ) b

?2 2

7、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是 A. 3?1 2B. 5?1 2C. D.

D. 5 ?2 2( ) A. 0 B. 1 C. 3

8、若函数y?kx(k?0)与函数y?

A. 1

二、填空题 B. 2 1的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为 x C. k ( ) D. k2

1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d,另一组对边的长分别为a,b,则d与

______ a?b的大小关系是_2

2、如图8-5,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则∠BAC的度数为_

A′

图8-5

图8-6

图8-7

3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、5、7)、(5、9、11)……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长_____

4、如图8-6,P是矩形ABCD内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=_______

5、如图8-7,甲楼楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时求①如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?______②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是______米。

6、如图8-8,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=__

8-8

C

三、解答题

1、如图8-9,AD是△ABC中BC边上的中线,求证:AD<

B

1

(AB+AC) 2

B

2、已知一个三角形的周长为P,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化?

D 图8-9

3、如图8-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F。

求证:①四边形CEDF是正方形。

②CD2=2AE·BF

C

A B 图8-10

4、从1、2、3、4……、2004中任选k个数,使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等),试问满足条件的k的最小值是多少?

参考答案

一、选择题

1、如图过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥PB于F,过D作DG⊥CE于G。

E

1

显然DG=EF=AB=5,CD≥DG,当P为AB中点时,有CD=DG=5,

2所以CD长度的最小值是5。

2、如图延长AB、DC相交于E,在Rt△ADE中,可求得AE=16,DE=83,

D P B

于是BE=AE-AB=9,在Rt△BEC中,可求得BC=3,CE=63,于

是CD=DE-CE=23 BC+CD=53。 3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF

E

1

(AD?AB?BC?CD)?11 2AEDF

? ∵EF∥BC,∴EF∥AD, EBFC

AEDFk6kk4k

??k,AE?AB?,DF?CD? 设 EBFCk?1k?1k?1k?1

6k4k13k?313k?3

???11 解得k=4 AD+AE+FD=3+ ∴k?1k?1k?1k?1

∴AD+AE+FD=EB+BC+CF=

作AH∥CD,AH交BC于H,交EF于G,

则GF=HC=AD=3,BH=BC-CH=9-3=6

H

EGAE44242439

??,∴EG?BH??3? ∴EF?EG?GF? BHAB55555

4、假设α、β、γ三个角都是锐角,即α<90°,β<90°,γ<90°,也就是A+B<90°,B+C<90°,C+A<90°。∵2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°与A+B+C=180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角,假设α、β、γ中有两个锐角,不妨设α、β是锐角,那么有A+B<90°,C+A<90°,∴A+(A+B+C)<180°,即A+180°<180°,A<0°这也不可能,所以α、β、γ中至多只有一个锐角,如A=20°,B=30°,C=130°,α=50°,选A。

5、折叠后,DE=BE,设DE=x,则AE=9-x,在Rt△ABC中,AB2+AE2=BE2,即

32?(9?x)2?x2,解得x=5,连结BD交EF于O,则EO=FO,BO=DO

∵BD?92?32? ∴DO=

2

2

3

2

在Rt△DOE中,EO=DE?DO?

52?(

3 ∴EF=)2?

22

。选B。

6、设△ABC中,AB=AC=a,BC=b,如图D是AB上一点,有AD=b,因a>b,

数学竞赛专项训练参考答案(1)-4

B

C

故∠A是△ABC的最小角,设∠A=Q,则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q,从而它与△ABC全等,所以DC=b,∠ACD=Q,因有公共底角∠B,所以有等腰△ADC∽等腰△CBD,从而得aBCBDba?b2?,即?,令x?,即得方程x?x?1?0,bABBCab

解得x?a5?1。选B。 ?b2

7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°,故外角中钝角的个数不能超过3个,

又因为内角与外角互补,因此,内角中锐角最多不能超过3个,实际上,容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。

8、A。设点A的坐标为(x,y),则xy?1,故△ABO的面积为11xy?,又因为△ABO22

与△CBO同底等高,因此△ABC的面积=2×△ABO的面积=1。

二、填空题

1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、N,MN

=d,另一组对边是AD和BC,其长度分别为a、b,连结BD,设P是A

N

C aba?bBD的中点,连结MP、PN,则MP=,NP=,显然恒有d?,222M

当AD∥BC,由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线,此时有

a?ba?ba?ba?bd?(或?d)。 ,所以d与的大小关系是d?2222

∵AB=AA′ ∴∠AA′B=∠AB A′=∠CBD=4x ∵∠A′AB=

∴B 2、12°。设∠BAC的度数为x,∵AB=BB′ ∴∠B′BD=2x,∠CBD=4x 1(180??x) 21(180??x)?4x?4x?180?,于是可解出x=12°。 2

3、以3,5,7,9,11构成的三数组不难列举出共有10组,它们是(3,5,7)、(3,5,9)、

(3,5,11)、(3,7,9)、(3,7,11)、(3,9,11)、(5,7,9)、(5,7,11)、(5,9,

11)、(7,9,11)。由3+5<9,3+5<11,3+7<11可以判定(3,5,9)、(3,5,11)、(3,7,11)这三组不能构成三角形的边长,因此共有7个数组构成三角形E 三边长。 4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H。 设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,

则H AP2?a2?c2,CP2?b2?d2,

BP?b?c, DP=d?a

2222222222 于是AP?CP?BP?DP,故DP?AP?CP?BP?3?5?4?18,

DP=32

5、①设冬天太阳最低时,甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处,那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度,设CE⊥AB于点E,那么在△AEC中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,EC=20米。 数学竞赛专项训练参考答案(1)-5 2222222

所以AE=EC?tan?ACE?20?tan30??20?3。 ?11.6(米)3

CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4(米)

②设点A的影子落到地面上某一点C,则在△ABC中,∠ACB=30°,

AB=16米,所以BC?AB?cot?ACB?16??27.7(米)。所以要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。

6、提示:由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,设∠PBC=α,∠ABC=60° 则∠ABP=60°-α,∴∠BAP=∠PBC=α,

APBP?∴△ABP∽△BPC,,BP2=AP·PC BPPCBP?AP?PC?48?43

三、解答题

1、证明:如图延长AD至E,使AD=DE,连结BE。

∵BD=DC,AD=DE,∠ADC=∠EDB

∴△ACD≌△EBD ∴AC=BE

在△ABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC ∴AD<

2、答案提示:

在△ABC中,不妨设a≤b≤c ∵a+b>c?a+b+c>2c 即p>2c?c<

另一方面c≥a且c≥b?2c≥a+b ∴3c?a?b?c?p?c?

因此B 1(AB+AC) 2p, 2p。 3pp?c? 32

3、证明:①∵∠ACB=90°,DE∥BC,DF∥AC,∴DE⊥AC,DE⊥BC,

从而∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°。

∵CD是角平分线 ∴DE=DF,即知四边形CEDF是正方形。

②在Rt△AED和Rt△DFB中, ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B

∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴AEDE?,即DE·DF=AE·BF ∵CD=2DE=2DF, DFBF

2∴CD?2DE?2DF?2DE?DF?2AE?BF

4、解:这一问题等价于在1,2,3,……,2004中选k-1个数,使其中任意三个数都不能

成为三边互不相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的k的最大值是多少?符合上述条件的数组,当k=4时,最小的三个数就是1,2,3,由此可不断扩大该数组,只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和,所以,为使k达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得:

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ① 共16个数,对符合上述条件的任数组,a1,a2……an显然总有ai大于等于①中的第i

个数,所以n≤16≤k-1,从而知k的最小值为17。

数学竞赛专项训练参考答案(1)-6

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