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为《几何原本》遗留的一个难题立证

发布时间:2014-06-11 13:49:26  

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为《几何原本》遗留的一个难题立证

作者:王树茗

来源:《中学数学杂志(高中版)》2013年第04期

“A、B、C三点列成ABC的顺序”在

1古籍轻断处,难度晚尤彰

学过初等平面几何的人都熟知外角定理,即

三角形的任一外角大于每一个不与之相邻的内角.

它的传统证明可以表述为

题设点D在△ABC的边BC的延长线上.

题断∠ACD>∠CAB,∠ACD>∠ABC.

图1证取边AC的中点E连结BE并且延长

它到,使E=BE;作射线C

因为EC=EA,∠CE=∠AEB(对顶角相

等),E=EB,

所以 △CE≌△AEB(边角边)因此∠EC=∠EAB,亦即∠AC=∠CAB而由于射线C在∠ACD内,所以∠ACD>∠AC,可见∠ACD>∠CAB

作边AC的延长线CG仿照以上可证∠BCG>∠ABC,而∠ACD=∠BCG(对顶角相等),因此∠ACD>∠ABC

这个始见于欧几里得《几何原本》的证明,其高超之处在于没有直接或间接依赖平行公理就这一点说,它与当前某些课本给出的利用三角形内角和定理的证明不可同日而语现代的几何基础研究表明,外角定理应属于欧几里得几何中与平行公理无关的那一部分,亦即属于欧氏几何与鲍雅义―罗巴切夫斯基几何的共同部分([1]之§1―§6以及§1中的所有定理都属于这一部分)因此,上述证明很能体现出欧几里得对于使用平行公理的极端审慎态度,很能体现出这位伟大学者的非凡的深谋远虑.

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