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初一上数学竞赛辅导资料8 抽屉原则

发布时间:2014-06-12 09:33:21  

初中数学竞赛辅导资料(8)

抽屉原则

甲内容提要

1, 4个苹果放进3个抽屉,有一种必然的结果:至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个(即

等于或多于2个);如果7个苹果放进3个抽屉,那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个(即的等于或多于3个),这就是抽屉原则的例子.

2, 如果用??表示不小于?m?

?n?m?7??6?的最小整数,例如??=3,??=2.那么抽屉原则可定义为:n?3??3?

?m?

?n?m个元素分成n个集合(m、n为正整数m>n),则至少有一个集合里元素不少于??个.

3, 根据??的定义,己知m、n可求??; 己知??,则可求?m?

?n??m??n??m??n?mmx?m??x?的范围,例如己知??=3,那么2<≤3;己知??=2,则 1<3nn?n??3?

≤2,即3<x≤6,x有最小整数值4.

乙例题

例1某校有学生2000人,问至少有几个学生生日是同一天?

分析:我们把2000名学生看作是苹果,一年365天(闰年366天)看作是抽屉,即把m(2000)个元素,分成n(366)个集合,至少有一个集合的元素不少于??个 解:∵?m??n?200017?5 ∴=6 366366??

答:至少有6名学生的生日是同一天

例2 从1到10这十个自然数中,任意取出6个数,其中至少有两个是倍数关系,试说明这

是为什么.

解:我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里,则可分为5个集合,它们是:{1,2,

4,8,},{3,6,},{5,10},{7},{9}.

∵要在5个集合里取出6个数,

∴至少有两个是在同一集合,而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系.

(本题的关键是划分集合,想一想为什么9不能放在3和6的集合里).

例3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球,要求至少有

3个颜色相同,那么至少应取出几个才有保证.

分析:我们可把4种球看成4个抽屉(4个集合),至少有3个球同颜色,看成是至少有一个抽屉不少于3个(有一个集合元素不少于3个).

解:设至少应取出x个,用{}表示不小于的最小整数,那么 {}=3, ∴2<≤3, 即8<x ≤12, 最小整数值是9.

答:至少要取出9个球,才能确保有三个同颜色.

例4 等边三角形边长为2,在这三角形内部放入5个点,至少有2个点它们的距离小于1,

试说明理由.

1,

∵5个点放入4个三角形,

∴至少有2个点放在同一个三角形内,

而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1.

丙练习8

1, 初一年新生从全县17个乡镇招收50名,则至少有_人来自同一个乡镇.

2, 任取30个正整数分别除以7,那么它们的余数至少有__个是相同的.

3, 在2003m中,指数m任意取10个正整数,那么这10个幂的个位数中相同的至少于__个. 4, 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只,为确保取出的祙子至少有1双(2只同规格为1

双)那么至少要取几只?若要确保10双呢?

5, 袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各6个,请你拿出一些球,要确保至少有4个同

颜色,那么最少要取几个?

6, 任意取11个正整数,至少有两个它们的差能被10整除,这是为什么?

7, 右图有3行9列的方格,若用红、蓝两种颜色 涂上,则至少有2列的涂色方式是一样的,试说明这是为什么. 8, 任意取3个正整数,其中必有两个数它们的平均数也是正整数.试说明理由.

9, 90粒糖果分给13个小孩,每人至少分1粒,不管怎样分,总有两人分得同样多,这是为

什么?

10,11个互不相同的正整数,它们都小于20,那么一定有两个是互质数.

(最大公约数是1的两个正整数叫互质数)

11,任意6个人中,或者有3个人他们之间都互相认识,或者有3个人他们之间都互不相识,两者必居其一,这是为什么?

练习8

1. 3 2. 5 3. 3 4. 5只,23只 5. 12 6.∵正整数的个位数字只有0,1,2,…9共10个,……

7. 设1表示红色,2代表蓝色,每列3格用2种涂色,最多只有如下8种涂法,

第9列必与前8种中的一种相同

8. 把正整数按奇数,偶数分为两个集合,3个正整数放入两个集合,必有一个

集合中,有2个 是同奇数或同偶数,……

9. 如果我们给13人分配都不相同的粒数,∵1+2+…+13=91,而实际糖果

只有90粒,∴必有1人要少分1粒,因而他一定与其余12人中的1个相同 10. 用A,B,C,D,E,F表示6个人.A与其他5个人的关系――相识或不相

识两种,必有一种不少于3人,不妨设A与B,C,D3人都相识,这时,只B,C,D3人中有2人相识,则本题的结论就成立.若B,C,D3人都互不相识,那么结论也成立.所以……

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