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初一上数学竞赛辅导资料4 零的特性

发布时间:2014-06-12 09:33:22  

初中数学竞赛辅导资料(4)

零的特性

甲内容提要

一,零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数. 零是自然数,是

整数,是偶数.

1, 零是表示具有相反意义的量的基准数.

例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高

收支衡可记作结存0元.

2, 零是判定正、负数的界限.

若a >0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则 a>0

记作 a>0 ? a是正数 读作a>0等价于a是正数

b<0 ? b 是负数

c≥0 ? c是非负数(即c不是负数,而是正数或0)

d≤0 ? d是非正数 (即d不是正数,而是负数或0)

e≠0 ? e不是0(即e不是0,而是负数或正数)

3, 在一切非负数中有一个最小值是0.

例如 绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0.

记作:|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0,

a2≥0,a2有最小值0(当a=0时).

4, 在一切非正数中有一个最大值是0.

例如 -|X|≤0,当X=0时,-|X|值最大,是0,(∵X≠0时都是负数),

-(X-2)2≤0,当X=2时,-(X-2)2的值最大,是0.

二,零具有独特的运算性质

1, 乘方:零的正整数次幂都是零.

2,除法:零除以任何不等于零的数都得零;

零不能作除数.从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0.

3, 乘法:零乘以任何数都得零. 即a×0=0,

反过来 如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0.

要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0.

4, 加法 互为相反数的两个数相加得零.反过来也成立.

即a、b互为相反数?a+b=0

5, 减法 两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,

若a-b=0,则a=b; 若a-b>0,则a>b; 若a-b<0,则a<b.

反过来也成立,当a=b时,a-b=0;当a>b时,a-b>0;当a<b时,a-b<0. 三,在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度.

例如 近似数1.6米与1.60米不同,前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米; 后者表示精确到0.01米(即1厘米),误差不超过5毫米.可用不等式表示其值范围如下:

1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605

乙例题

例1.两个数相除,什么情况下商是1?是-1?

答:两个数相等且不是0时,相除商是1;两数互为相反数且不是0时,相除商是-1. 例2.绝对值小于3的数有几个?它们的和是多少?为什么?

答:绝对值小于3的数有无数多个,它们的和是0.因为绝对值小于3的数包括大于-3并且小于3的所有数,它们都以互为相反数成对出现,而互为相反数的两个数相加得零. 例3.要使下列等式成立X、Y应取什么值?为什么?

①X(Y-1)=0, ② |X-3|+(Y+2)2=0

答:①根据任何数乘以0都得0,可知当X=0时,Y可取任何数;

当Y=1时,X取任何数等式X(Y-1)=0都是能成立.

②∵互为相反数相加得零,而|X-3|≥0,(Y+2)2≥0,

∴它们都必须是0,即X-3=0且Y+2=0,

故当X=3且Y=-2时,等式|X|+(Y+2)2=0成立.

丙练习4

1. 有理数a和b的大小如数轴所示:

b 0 a

比较下列左边各数与0的大小(用>、<、=号連接)

122a___0, -3b___0, ___0, -___0, ab

23-a___0, -b___0, a+b___0, a-b___0,

aaab___0, (-2b)3___0, ___0, ___0 ?bb

2. a表示有理数,下列四个式子,正确个数是几个?答:__个.

|a|>a, a2> -a2, a>-a, a+1>a

3. x表示一切有理数,下面四句话中正确的共几句?答:__句.

①(x-2)2有最小值0, ② -|x+3|有最大值0,

③2-x2有最大值2, ④ 3+|x-1|有最小3.

4. 绝对值小于5的有理数有几个?它们的积等于多少?为什么?

5. 要使下列等式成立,字母X、Y应取什么值? ①0=0, ②X(X-3)=0, ③|X-1|+(Y+3)2=0 X

31 ②方程(a-1)X=3的解是X= a?1a6. 下列说法正确吗?为什么? ① a的倒数是

② n表示一切自然数,2n-1表示所有的正奇数

③ 如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理数 )

7. X取什么值时,下列代数式的值是正数?

① X(X-1) ② X(X+1)(X+2)

练习4

2. 只一个 3. 4 4.无数多个,0 5. ①x ≠0,② 0或3 ③. X=0且y=5 (注意或与且的区别) 6. 都不正确,0没有倒数

7. ①x>1或x<0 ② -2<x<-1或x>0

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