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2011年全国初中数学竞赛试题及评分标准“《数学周报》杯

发布时间:2014-06-12 09:33:26  

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中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.设a1,则代数式a2?2a?12的值为( ).

(A)-6 (B)24 (C)10 (D)12

y?

k

x(k?0)与y?kx?k(k?0)的图象大

2.在同一直角坐标系中,函数致是

(A) (B) (C) (D) 3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P,使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数( )

(A)1 (B)7 (C)10 (D)15

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x4.若x?1,y?0,且满足xy?xy?x3y,则x?y的值为( ). y

(A)1 (B)2 (C)

5.设S?111???132333?119 (D) 221,则4S的整数部分等于( ). 993(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.若a是一个完全平方数,则比a大的最小完全平方数是 。

7.若关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根,且这三个根恰好可

以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是 .

8.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .

9.如图,点A,B为直线y?x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?1(x>0)于C,D两点. 若BD?2AC,则4OC2?OD2 的值x

为 .

10.如图,

AB

的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12 .

分,共80分)

2kx?ax?bk??1611x的方程3(a、b是常

数)的根总是x=1,试求a、b的值。

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12.已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值.

13.如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y?22x于P,Q两点. 3

(1)求证:∠ABP=∠ABQ;

(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60o,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.

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14如图,△ABC中,?BAC?60?,AB?2AC.点P在△ABC

内,且

5,PC?2,求△ABC的面积.

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A

二、填空题

6. (a?1)2 7.3<m≤4. 8.. 9.6. 10.84

三、解答题

11. 解:把x=1代入原方程并整理得(b+4)k=7-2a 19

?b?4?0?要使等式(b+4)k=7-2a不论k取什么实数均成立,只有?7?2a?0

a?7

2,b??4 解之得

12.解:设方程x2?ax?b?0的两个根为?,?,其中?,?为整数,且?≤?,则方程x2?cx?a?0的两根为??1,??1,由题意得

?????a,???1????1??a,

两式相加得 ???2??2??1?0,

即 (??2)(??2)?3,

???2?1,???2??3,所以 ? 或? ??2?3;??2??1.??

????1,????5, 解得 ? 或? ???1;????3.

(???),b???,c??([??1)?(??1)],又因为a?? 所以

a?0,b??1,c??2;或者a?8,b?15,c?6,

故a?b?c??3,或29.

Q作y轴的垂线,垂足分别为C, D. 13.解:(1)如图,分别过点P, 

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设点A的坐标为(0,t),则点B的坐标为(0,-t). 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,并设P,Q的坐标分别为 ,.由 (xP,yP)(xQ,yQ)

?y?kx?t,?22 ?y?x,?3?

得 x2?kx?t?0, 于是 xPxQ??t,即 t??xPxQ. 322323222222xP?tx?xxxP(xP?xQ)PPQBCyP?tx??于是 ????P. 2BDyQ?t2x2?txQxQ?xPxQxQ(xQ?xP)Q3333

又因为xPCBCPC???P,所以. BDQDQDxQ

因为∠BCP?∠BDQ?90?,所以△BCP∽△BDQ, 故∠ABP=∠ABQ.

(2) 设PC?a,DQ?b,不妨设a≥b>0,由(1)可知

∠ABP=∠ABQ?30?,BC

,BD

所以 AC

?2,AD

=2.

因为PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ. 于是aPCAC?

,即,

bDQAD

所以a?b?.

333由(1)中xPxQ??t,即?ab??

,所以ab?,a?b?

222于是可求得a?2b?

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将b?12代入y?x2,得到点Q

,). 232

3再将点Q的坐标代入y?kx?

1,求得k??

所以直线PQ

的函数解析式为y?x?1. x?

1,或y?x?1. 根据对称性知,所求直线PQ

的函数解析式为y?14.解:如图,作△ABQ,使得

?QAB??PAC,?ABQ??ACP,则△ABQ∽△ACP . 由于AB?2AC,所以相似比为2.

于是

AQ?2AP?BQ?2CP?4.

?QAP??QAB??BAP??PAC??BAP??BAC?60?. 由AQ:AP?2:1知,?APQ?90?

,于是PQ??3.

所以 BP2?25?BQ2?PQ2,从而?BQP?90?. 于是

AB2?PQ2?(AP?BQ)2?28?.

S?ABC?

126?3AB?ACsin6?0?AB?. 282

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