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中国首届女子数学奥林匹克

发布时间:2014-06-13 11:25:59  

中国首届女子数学奥林匹克(CGMO)试题

第一天

1.求出所有的正整数n., 使得20n+2能整除2003n+2002.

2.夏令营有3n(n是正整数)位女同学参加,每天都有3位女同学担任值勤工作. 夏令营结

束时发现这3n位女同学中的任何两位,在同一天担任值勤工作恰好是一次.

(1)问:当n=3时是否存在满足题意的安排?证明你的结论;

(2)求证:n是奇数。

3.试求出所有的正整数k,使得对任意满足不等式k(ab+bc+ca)>5(a2+b2+c2)的正数a,b,c,一 定存在三边长分别为a,b,c的三角形.

4.圆O1和圆O2相交于B,C两点,且BC是圆O1的直径。过点C作圆O1的切线交圆O2于

另一点A,连结AB, 交圆O1于另一点E,连结CE并延长,交圆O2于点F,设点H为 线段AF内的任一点,连结HE并延长,交圆O1于点,连结BG并延长,与AC的延长线

交于D点,求证:

第二天

5.设P1,P2,…,Pn(n≥2)是1,2, …,n的任意一个排列,求证: AHAC?. HFCD

11??PP2?P31?P2?11P2?n?P1n?P?n?1n?1 2?nnP

6.求所有的正整数对(x,y),满足xy = yx-y.

7.锐角三角形ABC的三条高分别为AD,BE,CF,求证:三角形DEF的周长不超过三角形 ABC的周长的一半.

8.设A1, A2, …, A8是平面上任意取定的8个点,对平面上任意取定的一条有向直线l,设A1, A2, …, A8在该直线上的射影分别是,P1, P2, …, P8, 如果这8个射影两两不重合,依直线l

的方向依次排列为Pi1,Pi2,,Pi8,,这样,就得到了1,2,3,4,5,6,7,8的一个排

i1, i2,,…,i8(在图中,这排列为2,1,8,3,7,4,6,5)。设这8个点对平面上所有有向

直线作射影后,得到不同的排列的个数为N8=N(A1,A2,…,A8),试求N8的最大值.

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