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2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)详细解题答案

发布时间:2014-06-14 09:51:22  

2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)参考答案

(2008年4月19日 上午9:00—11:30)

-、选择题(每小题7分,共42分)

111111111 、解:由??,而???1,故删去与后,可使剩下的数之和为1.故选C 4123236810

12

?.故选A . ???

23、解:555=5×554=5×12518,因125被8除余l,所以12518被8除余l,故知555被8除余5,而在125、375、625、875四数中,只有125被8除余5,故选A

x6x27274 、解:由(1)、(3)得y?,z?,故x≠0,代人(2)解得x?,所以y?, x?2x?3107

z??54.检验知此组解满足原方程组.于是10X+7y+Z=0.故选D

5、解:图中只有边长为1或2的两种菱形,每个菱形恰有一条与

其边长相等的对角线,原正三角形内部每条长为1的线段,恰是一

个边长为1的菱形的对角线;这种线段有18条,对应着18个边长

为1的菱形;原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的

对角线,三条中位线对应着3个边长为2的菱形;共得21个菱形. 选C

6、解:设2abcd8=(xy)3,则据末位数字特征得y=2,进而确定xy:因603=216000, 703=343000,所以60<xy<70,故只有,xy=62,而622=238328,则ab=38,cd=32,ab+cd=70. 故选D

二.填空题(每小题7分,共28分)

()1

7

、解:据条件式xy??9........

令z,则(1)式化为:

z?

xy?9,即有9-z=xy

81-18z+z2=x2y2?(x2?1)(y2?

4)?2xy……(2),又由

z

2=(2=x2(y2?4)?y2(x2?

1)?2xy代入(2)得,81-18z=4,所以z?77. 18

8、解:l+2+…+61=1891,2008—1891=117,由于形如ab的页码被当成ba后,加得的和数将相差9a?b,因为a,b只能在1,2,…,9中取值,a?b≤8,得9a?b≤72,由

于117=72+45=63+54,设弄错的两位数是ab和cd,若9a?b=72,9c?d=45,只有ab=19,而cd可以取l6,27,38,49;这时ab+cd的最大值是68;若9a?b=63,9c?d=54,则ab可以取18,29,而cd可以取17,28,39,ab+cd的最大值也是68.

9、解:如右图,连OA,OB,OC,线段 OA将阴影的上方部分剖分成两个弓

形,将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转1200后,阴影部分便合

并成△OBC,它的面积等于△ABC

10

、解:

6=(8?3,令

8?a

,8?b,得 a+b=16,ab=4,a,b是方程x2?16x?4?0的两个根,故得a2=16a-4,b2=16b-4;a3=16a2-4a,b3?16b2?4b;所以a3+b3=16(a2+b2)-4(a+b)=16(16(a+b)一8)-4(a+b)=252(a+b)-128=3904.∵0<b<1,∴0<b3<1,∴a3的最大整数值不超过3903.

三.解答题(共70分)

7; ……5分 5

以下考虑a≠0的情况,此时原方程为一元二次方程,由判别式11、解:当a=0时,方程的有理根为x?(a?5)2?4a(a?7)?0,即3a2+18a-25≤0

?a?整数 a只能在其中的非零整数1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7中取值,…… 10 分

由方程得x?……(1) 当a=1,由(1)得x=2和4;当a=-1时,方程无有理根;

5当a=-2,由(1)得x=1和-;当a=-3时,方程无有理根; ……15分 2

3当a=-4,由(1)得x=-1和;当a=-5时,方程无有理根; 4

1131当a=-6,由(1)得x=和-;当a=-7时,由(1)得x=和?;…… 20分 2377

NKMFPEP..?1..........(1)……5分 KMFPEN

EBACPNPN2CP..?1...........(2),即有?, BC截 △PAE,则BACPNENEACPE2CP?AC?..............(3), ……10分所以ENAC

FDCAPM..?1,即AD截△PCF,则DCAPMF

PM2APPF2AP?ACA?,??............(4)……15分 MFACMFAC

PEFP?,........20分 因AP=AC+CP,得2CP+ AC=2AP-AC,由(3),(4)得,ENMF

— MFPE.?1,所以由(1)得 NK=KM,即K是线段 AM的中点 ……25分 即FPEN12、证明:EF截△PMN,则

13、解:将这120人分别编号为P1,P2,....,P120,并视为数轴上的120个点,用Ak表示这

120人之中未答对第k题的人所成的组,Ak为该组人数, k=l,2,3,4,5,则

A1=24,A2?37,A3?46,A4?54,A5?85, ……5分

将以上五个组分别赋予五种颜色,如果某人未做对第k题,则将表示该人点染第k色,k=l,2,3,4,5,问题转化为,求出至

少染有三色的点最多有几个?

由于A1+A2?A3?A4?A5=246,故至少染有三色的点不多于

246=82个,……10分 3右上图是满足条件的一个最佳染法,即点P1,P2,....,P85这85 个点染第五色;点P1,P2,....,P37

这37个点染第二色;点P点P38,P39,....,P83这46个点染第四色;1,P2,....,P24这24 个点染第一色;点P25,P26,....,P78这54个点染第三色;于是染有三色的点最多有78个. …20分

因此染色数不多于两种的点至少有42个,即获奖人数至少有42个人(他们每人至多答错

两题,而至少答对三题,例如P79,P80,...,P120这 42 个人) …… 25分

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