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全国初中数学竞赛试题及答案(2000年)

发布时间:2014-06-14 14:49:45  

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2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题(只有一个结论正确)

1、设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,N,C的平均数为P,若,a>b>c则M与P的大小关系是( )。

(A)M=P;(B)M>P;(C)M<P;(D)不确定。

2、某人骑车沿直线旅行,先前进了米(( )。

3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( )。

(A)甲比乙大5岁;(B)甲比乙大10岁;(C)乙比甲大10岁;(D)乙比甲大5岁。

4、一个一次函数图象与直线平行,与轴、轴的交点分别为A、千米,休息了一段时间,又原路返回千),再前进千米,则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是B,并且过点(-1,-25),则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有( )。

(A)4个;(B)5个;(C)6个;(D)7个。

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5、设a、b、c分别是△ABC的三边的长,且

的关系是( )。 ,则它的内角∠A、∠B

(A)∠B>2∠A;(B)∠B=2∠A;(C)∠B<2∠A;(D)不确定。

6、已知△ABC的三边长分别为

,面积为S1,

的大小关系一定是( )。

(A)S>S1;(B)S<S1;(C)S=S1;(D)不确定。

二、填空题

7、已知:

8、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8,BC=6

则梯形ABCD的面积等于________。

9、已知关于的方程

________个。

的根都是整数,那么符合条件的整数有 ,∠BCD=45°,∠BAD=120°,,那么=________。 ,面积为S,△A1B1C1

的三边长分别为,则S与S1

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10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处,向两侧地面上的E、D;B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

11、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线

恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么

12、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是________

。(注:

×100%)

=________。

三、解答题

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13、设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程

相等的实数根。(1)若,求

的值。(2)求有两个不的最大值。

14、如上图:已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32人,而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)

AE,且BD=2,求四边形ABCD的面积。

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1、答:(B)。∵M=

∴>,N=,P=,M-P=,∵,,即M-P>0,即M>P。

2、答:(C)。因为图(A)中没有反映休息所消耗的时间;图(B)虽表明折返后S的变化,但没有表示消耗的时间;图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C)正确地表述了题意。

3、答:(A)。由题意知3×(甲-乙)=25-10,∴甲-乙=5。

4、答:(B)。在直线AB上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是=-1+4N,=-25+5N,(N是整数).在线段AB上这样的点应满足-1+4N>0,且-25+5N≤0,∴≤N≤5,即N=1,2,3,4,5。

5、答:(B)。由得,延长CB至D,使BD=AB,于是CD=,在△ABC与△DAC中,∠C为公共角,且BC:AC=AC:DC,∴△ABC∽△DAC,∠BAC=∠D,∵∠BAD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC。

6、答:(D)。分别构造△ABC与△A1B1C1如下:①作△ABC∽△A1B1C1,显然,即S>S1;②设设,则,则,S=10,,S=10,,则S1=,则×100>10,即S<S1;③,S1=10,即S=S1;因此,S与S1的大小关系不确定。

7、答:1。∵,即。∴

8、答:66+6(平方单位)。作AE、BF垂直于DC,垂足分别为E、F,由BC=6,∠BCD=45°,得AE=BF=FC=6。由∠BAD=120°,得∠DAE=30°,因为AE=6得DE=2,AB=EF=8,DC=2+8+6=14+2,∴。

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9、答:5。①当且是整数,知时,;②当,∴时,易知是方程的一个整数根,再由有5个。 ;由①、②得符合条件的整数

10、答:2.4米。作PQ⊥BD于Q,设BQ=

,两式相加得,由此得米,QD=米,PQ=米,由AB∥PQ∥CD,得

及米。即点P离地面的高度为2.4米。(注:由上述解法

知,AB、CD之间相距多远,与题目结论无关。)

11、答:。直线通过点D(15,5),故BD=1。当时,直线通过,两点,则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

12、答:17%。设原进价为元,销售价为元,那么按原进价销售的利润率为×100%,原进价降低6.4%后,在销售时的利润率为×100%,解得=1.17×100%,依题意得:×100%+8%=,故这种商品原来的利润率为×100%=17%。

13、解:因为方程有两个不相等的实数根,所以

,∴。根据题设,有。

(1)

因为,

即。由于,故。

(2)

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中国数学教育网 http://www.mathedu.cn info@mathedu.cn 设上是递减的,

所以当时,取最大值10。故的最大值为10。

2214、解:由题设得AB=2AE=AE·AC,∴AB:AC=AE:AB,又∠EAB=∠BAC,∴△ABE∽△ACB,∴∠ABE=∠ACB,

从而AB=AD。连结AD,交BD于H,则BH=HD==1。 。∴OH==1,AH=OA-OH=2-1

∴。 ,∵E是AC的中点,∴,

,∴,15、解:易知,这32个人恰好是第2至第33层各住1人。对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上,设住第层的人乘电梯,而住第

层的人直接走楼梯上楼,层。。交换两人上楼方式,其余的人不变,则不满意总分不增,现分别考虑如下:设电梯停在第

①当时,若住第层的人乘电梯,而住第

层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满意总分为

这两者不满意总分也为

楼,则这两者不满意总分为

前者比后者多楼,则这两者不满意总分为。④当。③当时,若住第。②当

时,若住第

;交换两人上楼方式,则层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上,;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为

,前者比后者多。⑤当满意总分为时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不,前者比后者多;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为

。今设电梯停在第层,在第一层有人直接走楼梯上楼,那么不满意总分为:

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当=27,=6时,=316。

所以,当电梯停在第27层时,这32个

人不满意的总分达到最小,最小值为

316分。

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