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第二届泛珠三角物理奥林匹克竞赛试题

发布时间:2013-09-28 16:35:25  

1

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2006

2006年泛珠江三角物理竞赛

Part-1 卷-1

(9:00 am – 12:00 pm, 02-09-2006)

Q1 (8 points) 题1 (8分)

Meson介子

芥子由两个夸克构成,而夸克之间的相互作用相当复杂。研究介子可通过用高能电子与之作非弹性碰撞来进行。由于碰撞过程难于分析,为掌握其主要内涵,人们发展了一种简化了的‘分粒子’模型。其主要内容为:电子只和介子的某部分(比如其中一个夸克)作弹性碰撞。碰撞后的夸克再经过介子内的相互作用把能量和动量传给整个介子。模型的主要精神可用下面的简化模型来阐述:一电子质量为m1,动能为E,与介子的一个夸克(质量m2)作弹性碰撞。介子里另一个夸克的质量为m3。夸克间以一无质量弹簧相连。碰撞前夸克处于静止状态,弹簧处于自然长度。所有运动都是一维的。忽略一切相对论效应。求碰撞后以弹簧振动形式代表的介子内能,和介子作为一整体所具有的动能。

Q2 (8 points) 题2 (8分)

一均匀铁滑轮质量为M1,半径为R

,固定在地面上方。滑轮可以轮心自由转动。另有总重量为M2的许多小磁铁块可吸附在滑轮上。一长细绳绕着滑轮边缘,终端挂一质量为M3的小重块,离地高度为H。细绳与滑轮间无滑动。(a)问小磁铁块应怎样圆对称地分布在滑轮上,才能使小重块被放开后到达地面时的速度为最小?(b) 求该速度。

Q3 (10 points) 题3 (10分

)

H

一圆柱容器半径为R,装有高度达H的水(密度为?)。

(a) 求水对容器面上一宽度为d (<< R < H) 的竖直面的压力。(3分)

(b) 将容器放在以角速度? (<gH/R) 转动的转台上,转动轴与容器中心轴重合。水的转动和转台一致。求水面形状和水对竖直面因转动而带来的附加压力。(g为重力加速度。) (7分)

Q4 (12 points) 题4 (12分)

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 泛珠三角物理竞赛2006

2

一固定体积为V的汽室中间由一可左右无磨擦滑动的轻活塞分开。左 、右汽室分别充有nL 、nR 摩尔初始温度分别为TL 、 TR的相同理想气体。

a) 求平衡时左 、右汽室的体积 VL、VR。(2分)

b) 假设左 、右汽室之间可以作热交换,但与外界无热量交换,单位时间热量的交换

差成正比,即?QL?R 与两边的温?t?QL?R?k(TL?TR)。求TL?TR与时间的关系。(8分) ?t

c) 求VL 、VR与时间的关系。(2分)

Q5 (12 points) 题5 (12分)

一位于y = 0 的平面的左、右分别是折射率为n1 (实数)、n2 (可能是复数)的非磁性介质。一电磁波 ????i(?k1y?? t)?i(k1y?? t)?i(ky?? t)射向界面,其反射波为ER ?Erx0e,透射波为ET ?Etx0e2。 EI ?E0x0e

(a) 利用电磁场的边界条件,导出r ?Er

(b) 当 n1 = 1, n2 = 2.0i时, 其中i ? /E0, tr ?Et/E0。你的答案应只含 n1 和 n2。(8分)

?1, 求反射率R ?|r|2。(1分)

(c) 当 n1 = 1, n2 = 1.0 + 2.0i时, 求反射波相对于入射波的位相差。(3分)

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 泛珠三角物理竞赛2006

1

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2006

2006年泛珠江三角物理竞赛

Part-2 卷-2

(2:00 pm – 5:00 pm, 02-09-2006)

Q6 题6 Casmir Effect 卡士米尔效应

(13 points 13分)

(A)当理想气体的温度趋于零时,其压强为多少?(2分)

(B)卡士米尔在50年代提出,真空中其实充满了’虚’电磁波。它们所具有的能量会对一对相隔距离为属平板产生作用力。 根据量子力学,两板间储有的能量为E d的金1?En, 其中En??ckn, c 为真空光速,?为2n?p

普朗克常数, p (>> 1)是个很大的数,和金属板的材料性质有关。 kn?2?/?n, 其中?n是可在两板之间形成的?驻波的波长。

(a) 设电磁波的波动方程具有sinknx这样的形式,在两板面 x = 0 和 x = d处波必须消失,求kn可取的

值。(2分)

(b) 证明真空电磁力具有a/d这样的形式,并求常数a。(5分)

(c) 板外边的真空电磁力为多少? (2分)

(d) 求当d = 1.0 mm时力的数值。 (提示: 如果你没有在(b)部分求得a,你可用量纲分析来估计力的

大小。) (2分)

(??1.05?10?342 ; c

?3.0?10 m/s.) (焦耳*秒); p?20008

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2

Q7 题7 Electric Current Driven Magnetic Domain Movement 电流驱动的磁畴运动 (15 points 15分)

z

x

Figure-A

Angle角度0°

Figure-B

?

电子和某些原子具有叫做自旋的固定角动量S,其大小是不变的,但方向可由外力矩改变。 由自旋产生的磁矩

??

为磁偶极子m??BS, 其中?B为常数。为简单起见,我们假设电子和原子的自旋和磁偶极子都是一样的。

(a) 参照上图-A。磁偶极子-A在r?0处,沿方向z0,磁偶极子-B在r

00 Figure-C

???

??

?ax0,沿方向y0。求磁偶极子-A

对磁偶极子-B的力矩。(3分)

(b) 假设磁偶极子-A的方向固定,求过了一短时间?t后,磁偶极子-B的方向。(5分)

(c) 上图-B描述的是一个在(x0, x0 + 2b)空间里的含有很多原子(磁偶极子-B)的磁畴。磁偶极子-B占满了

4

x--轴上的固定等距位置,它们的方向以一定的规律排列。(在2b长度内可含有10个磁偶极子-B)。一电子(磁偶极子-A)飞过,它对每个磁偶极子-B的作用和(b)部分的答案相同。上图-C 为开始时磁偶极子

?

方向分布。在 x0 + b 的磁偶极子沿y0方向,在x ? x0 + 2b的磁偶极子沿x0方向,在x? x0 的磁偶

极子沿?x0方向。沿?x0的磁偶极子不能再转动,沿x0的磁偶极子除了靠近磁畴边缘的那些以外也不能转动。指向其它方向的磁偶极子和磁畴外面一点点的沿x0的磁偶极子可自由转动。给定电子的电流

???

?

?????????0?3(m?r)r??

(提示: 在r处由位于坐标原点的磁偶极子m产生的磁场为B(r)?在磁场B里磁偶?m?。3?2

4?r?r?

?????

极子m受的力矩N为N?m?B。)

Q8 Force between a conductor sphere and a conductor plane 导体球与导体板之间的力 (22 points 22分)

为I, 求电流刚开始时磁畴中心的速度。(当电子电荷e为已知)(5分) (d) 求整个磁畴通过x0 + 2b 点所需的时间。(2分)

q1

利用电场理论的唯一性定理,我们可在一闭合空间外用一虚拟电荷分布来产生和原来相同的电势边界条件,以便求出闭合空间内的电势/电场。如图-A所示,一点电荷q

放在零电势的大导电平面前,为求电场,可以在平面

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左边放一‘镜像’电荷-q,两电荷的合电势使平面的电势仍然为零。平面对q的力等于-q对q的力。

(A)

我们先考虑一半径为R的零电势导体球对放在离球心距离为d (> R) 的点电荷q的力的问题。如图-B所示,q的镜像电荷q’ 在球里面(球以外空间的外面)球心与q的联机上。q 和 q’ 的合电势使球面上处处电势为零。求q’ 的值和位置。(4分)

(B)

如图-C所示,原子力显微镜经常遇到的问题是要确定样品对扫描探头的力。扫描探头为一半径为R 电势为V的导体球,离导电样品表面距离为h0。样品电势为零。下面我们利用镜像电荷方法一步步地把力最终求出来。

(a) 首先,当样品不在,放一点电荷q0在球心。求使球面的电势为V时q0的值。(1 分)

(b) q0和它的镜像电荷q1必须使样品的表面处处电势为零。求q1的值和位置h1。(2 分)

(c) q1 的出现使导体球面不再是等势面。在球里放上点电荷q2,使 q0, q1 和 q2 的合电势场在球面处处为

V。求q2的值和位置h2。 (2分)

(d) 重复(b)求q2的镜像电荷q3, 重复(c)求q3的镜像电荷q4。导出 h2n与h2(n+1), q2n与q2(n+1),以

及q2n+1与q2(n+1)+1之间的一般关系式。 n = 0, 1, 2... (3分)

(e) 求样品对球的力。答案可以无穷级数相加形式表达。(2分) -12(f) 已知当V = V0, R = 1.0 ? 10 m, h0 = 5.0 ? 10-8 m时,样品对球的力为1.1 ? 10 N, 求当V

= 2V0, R = 1.0 m, and h0 = 5.0 m时的力。(4分)

(g) 已知R/h0 = 1/51,如要求用(e)的答案来计算力时可达到大约1%的精确度,需要保留哪几项?(2分) (h) 估计(g)中因忽略其余项所引起的相对误差的数量级。(2分)

END 完

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Q1

Kinetic energy of meson 介子动能

Internal energy of meson介子内能 4m1m2Ek?E. (m2?m1)2(m3?m2)4m1m2m3Ei?E 2(m2?m1)(m3?m2)2

Suggested steps建议步骤:

(1) Use energy and momentum conservation to obtain the speed of m2 after collision with m1.利用动量能量守恒求得m2与m1碰撞后的速度。

2m1m2v2?E (m1?m2)

(2) Find the center-of-mass speed Vc of m2-m3 system (m3 is still at rest right after collision). The kinetic energy Ek of the m2+m3 system is then (m2+m3)/2 times the square of Vc. 由(1)求得m2-m3

1系统的质心速度Vc,进而求得其动能(m2?m3)Vc2。 2

(3) The 'internal energy' Ei can then be found using energy conservation, counting both the meson

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and the electron after collision, or just counting the energy m2 has after collision. 介子内能等于m2的初始动能减介子动能。

Q2 When the moment of inertia of the pulley is the largest, which means putting mass along the edge. Then use energy conservation that the initial potential energy is equal to the kinetic energy of mass m3 and that of the pulley. 由能量守恒可知,当滑轮的转动惯量最大时,重物到达地面的速度最小。因此M2应分布在轮边上。

1Moment of inertia 滑轮的转动惯量 I?M1R2?M2R2 2

无滑动 v?R?

11能量守恒 M3gh?I?2?M3v2 22

4M3gh答案 v? M1?2M2?2M3

Q3 (10 points)

(a) Pressure is proportional to depth, and the total force is found by integrating the entire depth. The force acting on the strip is 压强正比于深度

P??gh

H1 作用于条面的压力为 F??PdA?d??ghdh??gdH2 02

(b)

Step-1 Find the shape of the liquid surface 第一步,求液面形状

Method-1: In the rotating reference frame the inertia force is ?2r, and the associated potential is

1U??2r2. The liquid surface is an equal-potential surface, and the gravitation potential is gh. So 2

1the shape is a rotating parabola determined by gh??2r2?constant. 2

1方法-1 在转动参照系内,惯性力场为?2r,其势能为U??2r2,加上原有的重力势能gh,2

1以及液面应是个等势面,得gh??2r2?常数。 2

dhMethod-2: The slope of the surface should be such that normal force should balance the gravity dr

in the vertical direction, and give the concentric force for?2r in the horizontal direction. That leads to the same answer as Method-1.

dh方法-2 液面的斜率应在垂直方向与重力平衡,在水平方向提供所需的向心力?2r。 dr

Method-3

方法-3 Fp?pA??Wp??P?V where其中 ?V?2?r?r?h

Fc?m?2r??Wc?m?2r?r where 其中

?Wt???Wi?0

im?2??hr?r

?(2??hr?r)?2r?r??gh(2?r?r?h)

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5

dh?h?2

???r dr?rg

where C is a constant. 2g

Step-2 Determine C第二步,定常数C

Consider the Volume during rotation, 液体的总体积不变。 ?h??2r2?C

2??hrdr??R2H 0R2??(0R?22gr2?C)rdr??R2H ?C?H??2R2

4g ???2

2R2

h?(r?)?H?? 2g2??

?2R2

For在 r?R, h??H 4g

1?2R2

对条面的压力 F'??gd(?H)2 24g

附加的力为 ??2R21?2R2

2? ?F?F'?F??gd?H?()? 24g?2g?

Q4 (12 points)

a) Use the ideal gas law, 利用理想气体定律

(nT?nRTR)nLTLP?RLL,(V?VL?VR);VL?V V(nLTL?nRTR)

b) Energy conservation 能量守恒c?nLTL(0)?nRTR(0)?nLTL(t)?nRTR(t) (1)

and 0?nLdTL?nRdTR (1a)

Equal pressure leads to 活塞两边压强相等nLTL(t)VR(t)?nRTR(t)VL(t) (2) dTLdVRdTRdVLand (2a) ???TL(t)VR(t)TR(t)VL(t)

Heat transfer plus work done due to expansion热传导及能量守恒 dVL33 k(TL(t)?TR(t))dt?dQ??RdTL?P(t)dVL??nLRdTL?nLRTL(t) (3) 22VL(t)

Finally we have V?VL(t)?VR(t) (4) dVLFrom Eqs. (1), (2) and (4) we get nLRTL(t)(5) ?nLRdTL VL(t)

nAlso from Eq. (1a) d(TL(t)?TR(t))?(1?R)dTL (6) nL

Put Eqs. (5) and (6) into Eq. (3) d(TL?TR)2k?11??????(TL?TR)???(TL?TR) ??dt5R?nLnR?

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6

Where 其中??2k?11??? t???, and . (T(t)?T(t))?(T(0)?T(0))eLRLR?5R?nnR??L

Alternative method:另一方法

Throughout the process the pressures in both chambers are the same, so P(t)V?P(t)(VL(t)?VR(t))?R(nLTL(t)?nRTR(t))?R(nLTL(0)?nRTR(0)), and the pressure is a constant. Then

5k(TL(t)?TR(t))dt?dQ??RcpdTL??nLRdTL. 2

Using (6) above we get the same answers.

整个过程中两边压强相等,以及系统的总能量不变,因此有

P(t)V?P(t)(VL(t)?VR(t))?R(nLTL(t)?nRTR(t))?R(nLTL(0)?nRTR(0)),得P(t)不变。因此整个过程是等压的,可用等压热容来处理右室的吸热膨胀,即

5k(TL(t)?TR(t))dt?dQ??RcpdTL??nLRdTL。 2

c) Using the results in (b), one gets 将(b)中有关的量代入,可得

TR(t)?

TL(t)?

1nLTL(0)(1?e??t)?TR(0)(nR?nLe??t),nR?nL???1nRTR(0)(1?e??t)?TL(0)(nL?nRe??t)nR?nL?

and VL(R)?

nL(R)TL(R)(t)(nLTL(t)?nRTR(t))V.

Q5 (12 points) ?????(a) The E-fields in medium-1 and -2 are 在界面两边的电场 E1?EI ?ER, E2?ET ?????磁场?B?k?E, with 其中 k?ky0

?k?界面两边的磁场 B1?(E0?Er)z0ei(k1y??t) ??k?B2?Etz0ei(k2y??t) ??//?//?//?//Using the boundary conditions 边界条件E1?E2, B1?B2 at y = 0,

n?Dispersion relation色散关系 k?, c

one gets 得 E0?ER?ET, and E0n1?ERn1?ETn2,

n?n2n1Solving the equations, one obtains 解得 . r?12, t?n2?n1n2?n1

(b) 将n代如(a), 得 R = 1

(c) Use (a) and find the phase of r with the given n1 and n2. 将n代如(a), 得不偿失

1?ir?, 2

Phase shift 位相差 = 45? .

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7

Q6 (13 points)

Part-A PV=nRT so the pressure goes to zero压力趋于零.

Part-B

(a) knd?2?n, where n are integers n为整数。

?c??c??c??c2n(n?1)?n. (b) E??kn??n?2n?pcdn?pc2d2d

?E??c2F???n. The force is given by 力等于 2?d2d

The system energy decreases with increasing d so the force is pushing outwards. 力的方向向外。

(c) Outside we have 板外面d??, so因此 F = 0

(1.05?10?34Js)(3?108ms?1)?[2000(2000?1)]1?14(d) F??9.89?10N. ?324(1?10m)?S

Q7 (15 points)

?0??0(?BS)2???mA?mB??x0 which is (a) The torque is 力矩??S334?a4?a??perpendicular to mB 与mB垂直。 ?(b) The torque causes SB to spin within the x-y plane,

and the angular speed is given by ??S?. ?力矩使SB在x-y平面内旋转,角速度为??S?。

??????t?0

3?b2S?t The angle of the y-axis is 转角 4?a

(c) Find how many electrons should pass to cause a particular

spin to rotation from 90° - d? to 90°and from ? find

Angle角度position of the spin.找出要使一自旋从90° - d? 转到

90°,需要多少电子飞过,得 I?(??)dt?d??dx e2b0°?0dx2bI2v?????bI?S?t所以 b00 dt?e2e?2a3

Figure-C4e?2a3

(d) t?2b/v?. ?0I?b2S?t

Q8 (22 points)

Part-A

Place a point charge q’ at distance x from the center, which is at a distance r from a point on the sphere surface. The distance of this point to charge q is L.照题意放电荷q’

8

Zero potential on sphere surface球面零电势 => qq'?? (3) Lr

Putting Eq. (1) and (2) into (3) leads to

q'2(R2?d2?2Rdcos?)?q2(R2?x2?2Rxcos?) (4)

Equation (4) must be true for all angle θ, so式-4要在所有θ成立,因此

q'2(R2?d2)?q2(R2?x2) (5) and

q'2Rdcos??q2Rxcos? (6)

Solving Eq. (5) and (6), we get two sets of solutions.解两方程,得

Solution-1解-1: x = d and q’ = –q. Not the right one because q’ ends up outside the sphere.不用 Solution-2解-2: q’ = –qR/d, and x = R2/d < R. Correct.正确

Part-B

(a) q0?4??0RV

(b) –q0 and at a distance h0 on the other side of the plane. 电荷–q0 放在距离界面 h0 的另一边。 (c) The contribution of q1 and q2 is to make the sphere surface zero potential. The answer in Part-A

can be used here. q1 和 q2 的合电势在球面上为零。利用A-部分的答案,得

RR2

, q2?q0 h2?h0?2h0h0?h0

RR2

(d) h2(n?1)?h0?, q2(n?1)?q2n, q2n?1??q2n h0?h2nh0?h2n

(e) Sum over all charges on both sides of the plane. 将界面两边的电荷之间的力相加

?1??q2mq2n F???24??0m?0n?0(h2m?h2n)

(f) Using (a) and (d), define 利用前面的答案,令k0?h0/R,得

h2(n?1)1, k2(n?1)??k0?Rk0?k2n

1111q2n?q2(n?1)?....q0 k0?k2n?2k0?k2(n?1)k0?k2(n?2)k0?k2(n?3)

??1112Using (e) F??4??0V2????4??Vg(k0). 02m?0n?0(k0?k2(n?1))(k0?k2(m?1))(k2m?k2n)

The force is proportional to V2, and depend only on the ratio of k0 =R/h0. So the answer is 4.4 x 10-12 N. 可见力正比于V2,并只和比例k0 =R/h0有关,因此的力 = 4.4 x 10-12 N。

(g) Since all the image charges above the surface must be inside the spheres, the distance between

any charge outside the sample and those inside should be large than 2(h0?R). Then

RR1|q2n?2|?|q2n?2|?|q2n?2|, and only h0?h2n?2?2(h0?R). So|q2n|?h0?h2n?22(h0?R)100

the n = 1 terms should be kept.

因所有的镜像电荷都在球面内,界面两边每对电荷的距离必大于2(h0?R),

RR1|q2n?2|?|q2n?2|?|q2n?2|,只需保h0?h2n?2?2(h0?R),所以|q2n|?h0?h2n?22(h0?R)100

留到n = 1的项。

The total force is the sum of q0q1, q0q3, and q2q1, or (01), (03), and (12) for short.

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9

F????0V2

512(1?1). 51

总力保留q0q1, q0q3, q2q1, 或简写为 (01), (03), and (12)项,得F??

2??0V2512(1?1)。 51??R?22??(10) are (05), (23), (41), (h) The terms in the expansion that are of the order of ??2(h?R)?0??

?4?10?410?412?1022?4 |Ferror|?4??0V?k2???3??V10022?244(1/k?1/k)4(1/k?1/k)(50)0415??-4So the relative error is at most 3?10. (2 points)

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