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2012年株洲市初中数学竞赛初三答案

发布时间:2014-06-17 11:57:07  

2012年株洲市初中数学竞赛试题答案

(初三年级)

时量:120分钟 总分:100分 注意事项:

1.用黑色.蓝色钢笔或圆珠笔作答;

2.在密封线内答题,答题内容不要超过密封线; 3.不准使用计算器.

1.下列各式计算正确的是 ( C ) A.10a6÷5a2=2a3 B.2+3=5 C. ?1

?

D.(a-2)2=a2-4 2

2.已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2013的值为( A )

A.-1 B.1 C.0 D.(-3)2013

则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是( D ) A.15,16 B.13,15 C.13,

14 D.14,14

4.设a.b是方程x+ x-1006=0的两个实数根,则a?b的值为 ( B)

2

22

A.2012 B.2013 C.2014 D.2015

5.已知:如图 ,点G是BC的中点,点H在AF上,动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动,运动路径为:G?C?D?E?F?H,相对应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间的t(s)函数图象如图2,若AB?6cm,则以下四个结论中正确的个数有( D )

①图1中的BC长是8cm, ②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2, ③图1中的CD长是4cm, ④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2,

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

B

图1

A

图2

t(s)

6.如图为某企业标志图案,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=200, 将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到△A′B′C的位置,其中A′,B′分别是A, B的对应点,B在A′B′上,CA′交AB于D,则∠BDC的度数为( C )

A.300 B.450 C.600 D.900

A(第6题图) (第7题图)

7.如图:Rt?ABC中,?BAC?90?,P为BC中点,?ADB?1?APB,PE?3EB?3,则2

AEED?( A )

(A)7 (B)8 (C)12 (D)16

8.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购铅笔3支、练习本2本、圆珠笔1支共需3.1元;若购铅笔2支、练习本3本、圆珠笔4支共需7.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本,共需( C )元.

A.1.8 B.1.9 C. 2.1 D. 2.4

解答:设铅笔每支x元,练习本每本y元,圆珠笔每支z元,则

?3x?2y?z?3.1(1)??2x?3y?4z?7.4(2)

(1)?(2):?x?y?z?2.1 5 二.填空题(每题 5分,共30分,请将答案填在表格内)

?10,则9

. 若?20,的值为 ________________.

bcb?c11

10.在边长为1的小正方形组成的网格中,有如图所示的A、B两点,

在格点(网格线交叉点)中任意放置点C,恰好能使△ABC的面积为1的

6 概率为_________________.25(第10题图)

11.在正比例函数 y= kx 的图象上有一点A,它的横坐标n 使方程x?nx?n?1?0 有两个相

等的实数根,以点 A与 B(1,0).C(4,0) 为顶点的三角形面积等于6,则正比例函数的解析式

为 ;y?2x或y??2x

12. 小明.小林和小颖共解出100道数学题,每人都解出了其中的60道,如果将其中只有1人解

出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多 道.20

MDC13.如图,ABCD是边长为9的正方形,E是BC上的一点, BE=1EC.将正方形折叠,使点A与点E重合,折痕为MN, 22

则S?ANE

15?. 2KANEB

(第13题图)

14.近年,株洲市的园林绿化取得飞速发展,在全国产生很大反响。某校数学小组课外小组在坐标

纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:

第k棵树种植在点P,y1?1, k(xk,yk)处,其中x1?1

k?1k?2?x?x?1?5?([]?[]),k?1??k55当k?2时,??y?y?[k?1]?[k?2]kk?1?55?,式中[a]表示非负实数a的整数部分,

例如: [2.6]?2,[0.2]?0。按此方案第2012棵树种植点的坐标应为 。(2,403)

解答:由递推公式得:

?x1?1?x2?2?x3?3?x4?4?x5?5?x6?1?x7?2?x8?3,因此, xn为1,2,3,4,5,?,?,?,?,?,?,??y?1y?1y?1y?1y?1y?2y?2y?2?1?2?4?3?5?6?7?8

的循环数列,yn每隔5个数增加1, 2012被5除得商为402,余2,所以第2012棵树种植的坐标

是(2,403)

三.解答题(本大题共4个小题,共38分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

15.(本题满分8分)已知关于x的方程x?2(k?3)x?k?4k?1?0.

(1)若这个方程有实数根,求k的取值范围;

(2)若以方程x?2(k?3)x?k?4k?1?0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数2222

y?x?4的图象上,求满足条件的k的值.

解: (1)由题意得△=??2?k?3???4?k2?4k?1≥0 2??

化简得 ?8k?40≥0,解得k≤5.----------------------------3分

(2)设方程x2?2(k?3)x?k2?4k?1?0的两个根为x1,x2,

根据题意得|x1?x2|?y?x?4,

x1?x2?2(k?3),x1x2?k2?4k?

1

?|x1?x2|?4

解得:k=3

由(1)知,k?3符合条件。--------------------------------------------8分

16.(本题满分10分)某欢乐世界团购票价如下表:

今有甲.乙两个旅游团,若分别购票,两团总计应付门票费元;若合在一起作为一个团体购票,总计支付门票费10080元.问这两个旅游团各有多少人?

解:人数若不超过100人,费用至多13000元,所以,两个旅游团的总人数超过100人. 又10080?90?112,知两个旅游团总人数为112人.--------------------2分

设两个旅游团人数分别为x人.y人.由x?y?112,知x,y中至少有一个大于50.又由112?110?12320?13140,可知x与y不会都大于50.-----------------3分

若一个旅游团超过100人,另一个旅游团不足12人时,门票总钱数至多为9000?130?12?10560?13140.---------------------------------------------------4分

于是,可以断定有一个旅游团人数不超过50人,另一个旅游团人数超过50人但不超过100人.

?x?y?112不妨设1?x?50,51?y?100,则有?.------------------6分 130x?110y?13140?

解得x?41,y?71,即两个旅游团的人数分别为41人和71人.--------------------10分

17.(本题满分10分))一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶.设行驶的时间为x(时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线A-B-C表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系.

(1)根据图中信息,求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离;

(2)已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米,若快车从甲地到达乙地所需时间为t时,求t的值;

(3)若快车到达乙地后立刻返回甲地,慢车到达甲地后停止行驶,y关于x

的函数的大致图像如图中折线C-D-E,求图中D点的坐标.

解(1)线段AB所在直线的函数解析式为:y=kx+b,

?1.5k?b?70?k??140

将(1.5,70).(2,0)代入得:?,解得:?,

2k?b?0b?280??

所以线段AB所在直线的函数解析式为:y=-140x+280,当x=0时,

y=280,所以甲乙两地之间的距离280千米.-----------------------------3分 (2)设快车的速度为m千米/时,慢车的速度为n千米/时,由题意得:

?2m?2n?280?m?80

,解得:,所以快车的速度为80千米/时, ??

2m?2n?40n?60??

2807

?.-------------------------------------------------6分 802

28014

?小时,图中D表示慢车到达甲地时刻情况, (3)慢车到达甲地需时间:60314777280??小时,走了?80?此时快车到达乙地后返回走了千米,此时两车相距 32663

28056014560280??)--------------------------------10分 千米,故D 的坐标为 (,

3333

所以t?

18.(本题满分10分)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE是等边三角形,M为正方形内的

一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. ⑴ 求证:EN=AM;

⑵当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,求出该最小值; ⑶若AM:BM:MC?1:2:3,求?AMB的度数.

解:⑴∵△ABE是等边三角形,

∴BA=BE,∠ABE=60°. ∵∠MBN=60°,

∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN. 即∠MBA=∠NBE. 又∵MB=NB,

∴△AMB≌△ENB(SAS)

C

?EN?AM. ………………2分

⑵如图,连接CE、BD,当M点位于BD与CE的交点

AM+BM+CM的值最小.

理由如下:连接MN,在EC上取N1使?N1BM1?60延长CB作EF?CB于F, ∵BE=BA=BC,∠ABE=60°, ∴?EBF?2?ECB?30? ∴?ECB?15?

D

∴?N1M1B??M1BC??M1CB?60?

∴?BM1N1是等边三角形,

故BN1可看成由BM1绕点B逆时针旋转60°得到.,?BM1?M1N1 又由⑴知:EN1?AM1

此时:AM1?BM1?CM1?EC?EN?MN?MC?AM?BM?CM 故最短,在直角三角形EFC

中易求得EC??故AM+BM+CM

;------------6分 ⑶将BM顺时针旋转90?到BP,连结PC、PM

则易得:?ABM≌?CBP

设AM?k ?BP?BM?2k,CP?AM?k

?PBM为等腰直角三角形,

?PM?

?PC2?PM2?k2?)2?9k2?CM2

??MPC?90? C

??AMB??BPC??BPM??MPC?135?.------------------------10分

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