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2011年浦东新区初二数学竞赛暨2011年上海市初中数学竞赛选拔赛试卷

发布时间:2014-06-17 11:57:12  

2011年浦东新区初二数学竞赛

暨2011年上海市初中数学竞赛选拔赛试卷

(时间100分钟,满分100分)

一.填空题(每小题5分,共80分)

1. 已知m、n都是素数,且m-n2=2007,那么mn.

2.如果11112011,那么n??????2612nn?12012

3.?2?1?22?124?1?22n?1的值是4.如果a?3,b?5.那么a?b?a?b的绝对值等于 ??????

3x?y?15??16??27?5. 如果整数x、y、z满足???????的值为______. ??16,则代数式z?y8910??????xyz

6. 如果∠1与∠2互余,∠1与∠3互补,∠2与∠3的和等于周角的1,那么∠2的度数为 . 3

7.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,BCAAB=BC=2,AC=23,AD=3,则CD的长为8.一个凸多边形恰好有三个内角是钝角,这个多边形的边数的最大值是 .

1D第7题图

9.将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置,如图,那么∠1= 度.

10.如图,D、E分别是⊿ABC的AC、AB边上的点,BD、CE相交于点O,若S?OCD?1,S?OBE?2,S?OBC?3,那么S四边形ADOE? _________.

11.已知⊿ABC是等腰三角形,由顶点A所作BC边的高的长度恰等于BC边长的一半.则∠BAC的度数为 __________. B45°30°第9题图AED第10题图

?7x?a?0,12.如果不等式组?的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的8x?b?0?

整数解a,b的有序数对(a,b)共有 对.

1

13.若函数y?kx与函数y?

面积为 m的图像相交于A、C两点,AB垂直x轴于点B,则⊿ABC的x14.如图所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐

标为(12,5),直线y?1x?b恰好将矩形OABC分成面积相4

等的两部分.那么b= _____.

15.已知一个五位数abcde满足三个条件:①它的各位数字均不相同且不为零;②它是一个完全平方数;③它的万位上的数字a是一个完全平方数,千位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数.那么满足上述条件的五位数是 .

16.甲、乙、丙三人作100公里旅程的旅行,三人同时同地出发,甲与丙以每小时25公里的车速进行,而乙却以每小时5公里步行,经过某段距离后,丙下车改步行,每小时5公里,而甲驾车折返,将乙载上,最后三人同时到达目的地,此旅程所用时间为 _______.

二、解答题(17题6分,18-19题各7分,满分20分)

17.已知三个关于x的方程x2?x?m?0,?m?1?x2?2x?1?0和?m?2?x2?2x?1?0,若其中至少两个方程有实根,求m 的取值范围.

18.已知点P是正方形ABCD内一点,且点P到A、B、D的距离分别为1、2、2,求正方形ABCD的面积.

DCPAB

1?15?19.?x?表示不超过x的最大整数部分,如???3,??3.14???4.解方程:?2x?1??3x?. 2?4?

2

17. 当m=2时,第二、三个方程有解. ------------1′

1

当m?1,m?2时,?1?0.m?;?2?0,m?2;?3?0,m?1.-----------1′

4

1?1?m?,m?,?m?2,??

当每两个方程有解时,有 ?-----------2′ 或4?4或?

?m?1??m?2m?1??解之得 m?

1

或1?m?2.-----------1′ 4

18.解:将⊿APD绕点A顺时针旋转90°得⊿AP′B,则P′A=1,PB=. ⊿APP′为等腰直角三角形,PP′=2,∠AP′P=45°. -----------2′

D

C

?PP?2?P?B2?

2??2?

2

2

?4?PB2

P

故⊿PP′B为等腰直角三角形,∠PP′B=90°. -------2′

过点A作AN⊥BP′交其延长线于点N,易知⊿ANP′为等腰直角

2

三角形,且AN?NP??.-----------2′

2

2

2

N

P'

B

?2??2?

?????5,所以正方形ABCD的面积为5. ---1′ 故 AB2?AN2?NB2???2?2??2?????

12n?1

19.令?2x?1??n,代入原方程得 3x??n,即x?-----------1′

26

2n?1

?1?n?1,整理得 3n?2n?4?3n?3,---1′ 又 ∵ ?2x?1??2x?1??2x?1??1,∴n?2?6

解之得 n=-4,-5,-6. -----------1′

13解得x??;-----------1′ 当n=-4时,原方程为?4?3x?,22111解得x??;-----------1′ 当n=-5时,原方程为?5?3x?,26113解得x??.-----------1′ 当n=-6时,原方程为?6?3x?,26

31113

经检验,得x??,x??,x??均为原方程的解. -----------1′

266

3

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