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初中数学竞赛辅导资料8

发布时间:2014-06-19 12:03:42  

初中数学竞赛辅导资料(24) 连续正整数的性质

甲内容提要

一.两个连续正整数

1.两个连续正整数一 定是互质的,其商是既约分数。

2.两个连续正整数的积是偶数,且个位数只能是0,2,6。

3.两个连续正整数的和是奇数,差是1。

4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3=1+2,79=39+40, 111=55+56。

二.计算连续正整数的个数

例如:不同的五位数有几个?这是计算连续正整数从10000到99999的个数,它是 99999-10000+1=90000(个)

1. n位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n为正整数,100=1) 例如一位正整数从1到9共9个(9×100),

二位数从10到99共90个 (9×101)

三位数从100到999共900个(9×102)……

2.连续正整数从n 到m的个 数是 m-n+1

把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算,举例如下:

49-13+1=19 2

48-14从13到49的连续偶数的个数是+1=18 2

48-154. 从13到49能被3整除的正整数的个数是+1=12 3

49-13从13到49的正整数中除以3余1的个数是+1=13 33. 从13到49的连续奇数的个数是

你能从中找到计算规律吗?

三.计算连续正整数的和

n (n是正整数) 2

b?a?1 连续正整数从a到b的和 记作(a+b) 21. 1+2+3+……+n=(1+n)

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把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和,举例如下:

2. 11+13+15+…+55=(11+55)×23=759 (∵从11到55有奇数2

55-11+1=23个) 2

3. 11+14+17+…+53=(11+53)×

中除以3余2的数的个数共15=480 (∵从11到53正整数253-11+1=15) 3

四. 计算由连续正整数连写的整数,各数位上的数字和

1. 123456789各数位上的数字和是(0+9)+(1+8)+…+(4+5)

=9×5=45

2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为:(0,99),(1,98), (2,97)…(48,51),(49,50)共有50个18,加上100中的1

∴各数位上的数字和是18×50+1=901

五. 连续正整数的积

从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n!,读作n的阶乘

1. n个连续正整数的积能被n!整除,

如11×12×13能被1×2×3整除;97×98×99×100能被4!整除;

a(a+1)(a+2)…(a+n)能被(n+1)!整除。

2. n!含某因质数的个数。举例如下:

① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个

其中2,4,6,8,10都含质因数2 暂各计1个,共5个

其中4=22 含两个质因数2 增加了1个

其中8=23 含三个质因数2 再增加2个

② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法

5,10,15,…125,130 均含质因数5 暂各计1个,共26个 其中25,50,75,100均含52有两个5 各加1个, 共4个

其中125=53含三个5 再增加2个

∴积中含质因数5的个数是32

乙例题

例1. 写出和等于100的连续正整数

解:∵100=2×50=4×25=5×20=10×10

其中2个50和10个10都不能写成连续正整数

而4个25:12+13,11+14,10+15,9+16

得第一组连续正整数9,10,11,12,13,14,15,16。

5个20可由20,19+21,18+22

得第二组连续正整数18,19,20,21,22。

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例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码? 解:页数编码中,一位数1到9共9个

两位数10-99,共90个,用数码90×2=180个

三位数100-999,共900个,用数码900×3=2700个

四位数1000-1990,共991个,用数码991×4=3964个

∴共用数码9+180+2700+3964=6853

例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数: 1234……99100。问:

①它是一个几位数?

②它的各位上的数字和是多少?

③ 如果从这个数中划去100个数字,使剩下的数尽可能地大,那么剩

下的数的前十位数是多少?

解: ①这个数的位数=9×1+90×2+3=192

②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)

③划去100个数,从最高位开始并留下所有的9:

包括1――8,10――18,19中的1,20――28,29中的2,……,50到56这里共有8+19+19+19+19+14=98个,再划去57,58中的两个5, 剩下的数的前十位是9999978596。

例4. 算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个? 解:∵=11,=12

∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122

;∴符合条件的连续正整数是121,122,123,…,143。共23个。

例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍,

求这两个连续正整数。

解:设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a

根据题意,得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a (1) 把222分解质因数得 x(x+1)=2×3×37a(2)

∵连续正整数的积的个位数只能是0,2,6 且0<a≤9

由(1)可知a可能是1,3,5,6,8 分别代入(2)只有6适合

x(x+1)=36×37

答所求的连续正整数是36和37

丙练习24

1. 除以3余2的两位数共有___个,三位数有____个,n位数有____个。

2. 从50到1000的正整数中有奇数___个,3的倍数___个。

3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数,它的各位上

的数字和是_____。

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4. 把由1开始的正整数 依次写下去,直写到第198位为止,123? ???

198位

那么这个数的末三位数是______,这个数的各位上的数字和是_____ 这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题)

5. 已知a=111?11, b=999?99 ??????????

1990个11990个9

那么①ab=______________

②ab的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法)

6. 计算连续正整数的平方和的个位数:

① 12+22+32+……+92和的个位数是_______

② 12+22+32+……+192和的个位数是______

③ 12+22+32+……+292和的个位数是______

④ 12+22+32+……+392和的个位数是______

⑤ 12+22+32+……+1234567892和的个位数是______

(1990全国初中数学联赛题)

7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组:

____________,_________________,_____________________。

8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100

这积中含质因数5的个数有____,积的末尾的零连续____个。

9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数

是多少? (1990年全国初中数学联赛题)

10. .设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么b2是( )

(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376

11. 计算:① 2+4+6+…+100=

②1+4+7+10+…+100=

③ +10+15+…+100=

12. 有11个正整数都是小于20,那么其中必有两个是互质数,这是为什

么?

如果有(n+1)个正整数,它们都小于2n,那么必有两个是互质数,试说明理由。

13. 一串数1,4,7,10,…,697,700的规律是第一个数是1,以后的

每一个数等于它前面的一个数加,直到700为止。将这些数相乘,试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题) 提 示:先求积中含质因数5的个数

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