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初中数学竞赛辅导资料7

发布时间:2014-06-19 12:03:47  

初中数学竞赛辅导资料(23)

递推公式

甲内容提要

1. 先看一例:a1=b,a2=222,a3=…… an+1=a2a1an这里a1,a2,a3……an,an+1

是对应于正整数1,2,3……n,n+1 的有序的一列数(右下标的数字表示第几项),这一列数只要给出某一项数值,就可以推出其他各项数值。 例如: 若 a1=10, 则a2=121=,a3=10,a4=,a5=10…… 5105

2. 为了计算的方便,通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式,这可用经验归纳法。 例如:把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示 ∵a2=a1+5, ∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5, a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5 …… ∴an=a1+(n-1)5

如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105

3.有一类问题它与正整数的顺序有关,可寻找递推公式求解,这叫递推法。 乙例题

例1.已知:a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2) 求:a100的值 解:a100=a99+2×99

=a98+2×98+2×99

=……

=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99 =2+2×(1?99)?99=9902 2

又解:a2=a1+2×1

a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2

a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3

……

a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99

=2+2(1+2+3+……+99)=9902

例2.已知:x1=97, 对于自然数n>1, xn=n

xn?1 求:x1x2x3·……·x8的值

解:由递推公式xn=n

xn?1可知 x1x2=x142=2 x3x4=x3=4 x3x1

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x5x6=x56=68=8 ∴xxx……·x8=2×4×6 ×8=384 x7x8=x7123·x5x7

例3.已知:100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式

(n-2)an-(n-1)an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199

求:a1+a2+a3+……+a100

分析:已知等式是一个递推公式,用后项表示前项:an-1=

可由a100求a99,a98……

解:a99=(n?2)an?1 n?1(100?2)a100?198?199?1==197 9999

a98=(99?2)a99?197?197?1==195 9898

用同样方法求得a97=193, a96=191,……a1=1

∴a1+a2+a3+……+a100=1+3+5+……+195+197+199

=(1?199)?100=104

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丙练习23

1. 已知 a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an

那么 a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____

2. 若a1=2m, an=2

an?1 则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___

3. n为正整数,有递推公式an+1=an-3,试用a1,n表示第n项an

4. 已知 a1=10, an+1=2an 求a10

5. 已知 f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)

6. 设x+y=a1, x2+y2=a2, …… xn+yn=an, xy=6, 则a2=a12-2b,

有递推公式an+1=a1an-ban-1, 试按本公式求出:用a,b表示a3, a4, a5, a6

根据下列数据的特点,写出递推公式:

① a1=1, a2=4, a3=7, a4=10……an=____,an+1________

② a1=1, a2=3, a3=6, a4=10……an=______,an+1_________

7. n名象棋选手进行单循环比赛(每人对其他各人各赛一场)试用递推公

式表示比赛的场数。

8. 平面内n条的直线两两相交,最多有几个交点?试用递推公式表示。

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