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习题例题

发布时间:2014-06-19 13:50:42  

第二章 例题与习题
例题2-1 有一晶体,平衡时体积为V0,原子间相互作
用势为U0,如果相距为r的两原子互作用势为

u ?r ? ? ?

?

证明 (1)体积弹性模量为 : ? ? nm U 0 (2)求出体心立方结构惰性分子晶体的体积弹性模量。

r

m

?

?

rn

9V0

[解](1)设晶体共有N个原子,则总能量为
1 N U ? ?U i ? ? ' uij ? rij ? 2 i 2 j (i ? j )

第二章 例题与习题

设最近邻原子间的距离为r,则有 r ij ? aij r 令

Am ? ? ?
j

'

1 , m aij

An ? ? ?
j

'

1 n aij
(1)

N U? 2

? Am An ? N ? Am An ? ? ? ? ?? m ? n ? m n ? 平衡时 U 0 ? r ? 2 ? r0 r0 ? ? r

? dU ? 由平衡条件 ? ? ?0? ? dr ?r0

N ? mAm nAn ? ? m ?1 ? n ?1 ? ? 0 2 ? r0 r0 ?

(2)

解得

2U 0 ? m A ? nr 0 ? m N m ? n ? ? ? ? 2U 0 n ?A ? mr n 0 ? N ?m ? n? ?

第二章 例题与习题

dr ? ? d 2U ? 3 ? 体积弹性模量 ? ? V0 ? 设 V ? N?r , ? ? 2 ? ? dV ?r0 ? dr ?r0

2

3V 2 ? dV ? 3N ? r dr ? dr , r

? dr ? ? ? dV ? ?

2

r0

r02 ? 2 9V0

r02 ? d 2U ? r02 N ? Am m ? m ? 1? An n ? n ? 1? ? ?? ? ? 2 ? ? ?? ? m? 2 n?2 9V0 ? dr ?r 9V0 2 ? r0 r0 ? 0 ? n ? n ? 1? 2U 0 1 N ? m ? m ? 1? 2U 0 m n ? nr0 ? mr0 ? ?? m n 9V0 2 ? r0 N ?m ? n? r0 N ?m ? n? ?

U 0 nm nm U 0 ?? ? 9V0 9V0

第二章 例题与习题

(2)

惰性分子结合的互作用势能为
12 6 ? 1 ?? ? ?? ? ? U ? r ? ? N (4? ) ? A12 ? ? ? A6 ? ? ? 2 ? r ? ? r ? ? ? ? ?

? 1 ? A12 ? ? ? , ? ? ? j ? pij ?

12

? 1 ? A6 ? ? ? ? ? ? j ? pij ?

6

由平衡条件有
dU dr
r ? r0

?0

?
1/ 6

?? ? ? r
0

? ? ?

6

A6 ? 2A 12

? 2A ? 12 ? r0 ? ? ? ? A6 ?

?

第二章 例题与习题

现n=12,m=6, V ? N ? r03 对体心立方, 代入 ? ?

nm U 0

4 3 ?? 9

5 9V0 2 ? A6 ? 2 A6 4? 4? ? A ?0 ? ? ? 3 3 12 ? ? r0 A12 2?? ? A12 ?

? A6 ? 3 3? ? A12 ? ? 3 2? ? A12 ?

5 2

体心立方 A6 ? 12.25, A12 ? 9.11

? ? 0 ? 70.1 3 ?

第二章 例题与习题

〖关于习题2.3的说明〗
题目给出晶体的相互作用能 u ? r ? ? ? 如果是一对粒子能量,则总能量

?
r
m

?

?
r
n

指什么?

N ? Am Bn ? 1 1 U ? r ? ? ?? m ? n ? , Am ? ? ? m , Bn ? ? ? n 2? r r ? j aj j aj
可以简记为

N U ?r ? ? 2

? ?? ??? ? m ? n ? , ?? ? ? Am , ? ? ? An ? ? r ? ? r

方括号中是平均一个粒子与其它粒子相互作用的能量之 和

第二章 例题与习题

粒子平均能量

?N? ?N? 如果是总能量 ? ? ? ? Am ,

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