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初三奥数辅导系列1:1.一元二次方程(一):基本概念与解法

发布时间:2014-06-21 14:38:27  

一元二次方程(一):基本概念与解法

1.若关于x的方程(m2?4)x2?(m?2)x?m?0是一元二次方程,则m=___________;若此方程是关于x的一元二次方程,则m为何实数__________。

2.一元二次方程x (x +1) = x + 1的根为___________。

3.若x?3,则x = __________,若(x?1)2?5,则x = ____________。

4.把下列方程:

(1)3x2?5x?2;

(2)3x(x?1)?2(x?2)?4;

(3)(x?3)(x?4)??6;

(4)(2x?1)(3x?2)?x2?2

化为一元二次方程的标准形式后,二次项系数与一次项的系数数是互为相反数的是___________。

5.方程4x?12x?13的解是____________。

6.若x1,x2是二次三项式ax?bx?c的两个根,则把ax?bx?c分解因式后等于____________。

7.若(a?3)x

8.方程x?x的解是_____________。

9.若,1是一元二次方程ax?bx?2?0的两个根,则 a = _________, b = __________。

10.若 – 1 是方程ax?bx?c?0(a?0)的一个根,则a – b + c = _______________。

B卷

1.方程x+ |x| + 1 = 0有___________个实根。 222222b?1?5x?1?0是关于x的一元二次方程,则a __________,b _________。 21222

22.若28?103是方程x+ax+b=0的一个根(其中a,b是有理数),则ab=__________。

3.方程x?1990x?1989?1991?0的两个根中较大的根是____________。

4.把关于x的方程x?2x?2?0配方成为a(x?2)2?b(x?2)?c?0的形式,得___________。

5.方程x- |x| - 1 = 0 的解是_________。

6.方程(2?)x2?2(3?1)x?6?0的解为___________。

7.关于x的方程ax2?c?0(a?0)的解是_____________。

8.已知x = - 2 是方程ax- 2x – 100 = 0的一个根,那么a = _________。

9.关于x的一元二次方程x?3mx?2m?mn?n?0的解是_____________。

10.已知方程2x?mx?3?0的方程3x?2m?3?0有一个公共根?,则实数m=____________这两个方程的公共根?= _____________。

答案

1.当m = -2时,是一元一次方程;当m≠2且m≠- 2 时,原方程为一元二次方程;

2.x = - 1 或x = 1;

3.x = ±,x?1?5;

4.方程(3);

5.x1?222222222223?23?2;x2?; 22

6.a(x?x1)(x?x2);

7.a≠3;b?

8.x = 0或3; 2; 11

9.a = 4, b = 6;

10.0

B卷

1.

∵x2 + |x| + 1 ≥ 0 + 0 + 1 = 1 > 0,

∴原方程无实根。

2. ∵28?10?5?3 ∴(5?3)2?a(5?)?b?0, ∵(28?5a?b?0)?(10?a)3?0, ∴??28?5a?b?0?a??10 ??10?a?0,?b?22.

故ab= - 220

3.

∵1989.1991=(1990-1)(1990+1)=1990?1 ∴由原方程得x?1990x?(1990?1)?0 ∵1?1990x?(1990?1)?0

∴原方程有一个根是x1??1.(x?1)?1990(x?1)?0 ∴(x?1)(x?1?1990)?0

∴x?1?0或x?1?1990?0 2222222222

∴x1??1,x2?1?19902

故较大的根为-1。

4.(x2?4x?4)?4x?4?2x?2?0

(x?2)?2(x?2)?2?0.2

[另解1]令y = x – 2,则x = y + 2

∴x?2x?2?(y?2)?2(y?2)?2 22

?y2?4y?4?2y?4?2

?y2?2y?2

?(x?2)2?2(x?2)?2

∴(x?2)?2(x?2)?2?0.

22x?2x?2?(x?2)?b(x?2)?c由于两边恒等,故当[另解2](待定系数法)显然可设2

x = 2时,两边也相等:

22?2?2?2?02?b?0?c ∴c = 2

22x?2x?2?(x?2)?b(r?2)?2 从而

∴x(x?2)?(x?2)?b(x?2) ∴x?(x?2)?b,

∴b?2

2(x?2)?2(x?2)?2?0. 从而2

5.|x|?|x|?1?0由求根公式得 2

|x|?1?51?或|x|?(舍去)22 1?5

2 ∴

x??

6.方程两边同乘以2?3,则原方程变为:x?2(1?3)x?6(2?)?0 2

由于?6(2?)??3(4?23)??3[()?2?1]??3(?1) ∴x?(1?3)x?3(?1)?0 即[x?(?1)][x?3(3?1)]?0 2222

x1??(?1),x2?3(?1)

7.a≠0,∴x2??ca

当c = 0时,x1?x2?0;

cx1,x2???;a 当ac < 0时,

当ac > 0时,方程无实根。

8.由已知得

a2?(?2)2?2?(?2)?100?0

即4a?4?100?0 2

4a2?96

a2?24 ∴a??26

9.

∵b?4ac 2

?(?3m)2?4?1?(2m2?mn?n2)

?9m2?8m2?4mn?4n2

?m2?4mn?4n2?(m?2n)2

故由求根公式得

x1,x2?3m?(m?2n) 2

∴x1?2m?n,x2?m?n

10.

∵a是这两个方程的公共根,则

2??2d?ma?3?0(1) ?2??3a?2ma?3?0(2)

由(1)×3 -(2)×2得 ma = - 15 若 m = 0,则这两个方程无公共根; 若m≠0,则a??

将a??15 m1522515?3?0 代入(1),得2?22?m?mmm

解之得m = ±5,因此,当m = 5时,a = -3;当 m = - 5时,a = 3。

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