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_初中数学竞赛中多元极值问题的常用解法

发布时间:2014-06-21 14:38:35  

初中数学竞赛中多元极值问题的常用解法

嘉积中学海桂学校 刘红军

多元极值问题是初中数学竞赛中的常见题型,此类问题有着极为丰富的内涵,它涉及的知识面广,综合性强,解法颇具有技巧性,解答这类问题可以根据不同情况的具体特点,采取不同的方法,现以近年来的数学竞赛题为例,介绍这类问题的常用解法,供大家参考.

一、配方法:配方法是数学中的一种重要的方法,将已知代数式(等式)配方成若干个完全平方式的形式,结合非负性质,问题常能顺利解决.

例1 设x,y为实数,代数式2x2?4xy?5y2?4x?2y?5的最小值为年武汉CASIO选拔赛试题)

分析与解:配方得:原式=x2?4xy?4y2?x2?4x?4?y2?2y?1?10

=(x?2y)2?(x?2)2?(y?1)2?10

显然,当x?2,y??1时,原式有最小值-10.

同类型试题: 设x,y为实数,代数式5x2?4y2?8xy?2x?4的最小值为第21届江苏省初中数学竞赛试题),此题也可以用配方法来解决,最小值为3.

二、消元法:把多个元素转化为某一元素为主元,再结合已知条件,经过合理的运算,使问题逐步简化,便利求解.

例2 已知a,b,c为整数,且a?b?2006,c?a?2005,若a?b,则:a?b?c的最大值是: .(2006年全国初中数学竞赛决赛试题)

分析与解:由a?b?2006,c?a?2005,得 a?b?c?a?4011.

因为a?b?2006,a?b,a为整数,所以,a的最大值为1002.

于是,a?b?c的最大值为5013.

,3x+y-z=50,且x、y、z均为非负数,则M=5x+4y+2z的例3 若x+y+z=30

最大值为_________________.(2007年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题)

x?y?z?30分析与解:由?用x来表示y、z,得y=40-2x,z=x-10,又由y≥0,z≥0,??3x?y?z?50

40?2x??得?解得10≤x≤20,又把y=40-2x,z=x-10代入M=5x+4y+2z得,M=-x+140,?x??????

显然M是关于x的一次函数,且M随x增大而减小,所以当x=10时,M的最大值为130.

三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.

例4 已知x?y?5,且x?0,y?

0, )

(A)3 (B)4 (C)5 (D

分析与解:这道题,初识实感无从下手,若将“式”转化成“形则或轻松解.(如图1)

分别以x、1和y、2

构造如图1所示的两个Rt?ABC、

Rt?DEC。由图形显见,当点C位于直线 AD上时,AC+AD

值最小.

于是过点A作AG垂直DE的延长线交于G点,则四边形ABEG是矩形, ?AB?EG?1

又AG?BE?x?y?5 2 在Rt?ADG中,DG=3,AG=5,

斜边

E 1 A G

图 1

由勾股定理可得:

故应选择D。

同类型试题: 已知a,b均为正数,且a?b?2,求u?a2?4?b2?1的最小值.(2003年北京市初二数学竞赛试题),此题也可以用此方法来解决,

四、均值代换法:在数学问题中,出现条件x?y?a时,我们常作代换x?

这种代换称为均值代换.

例5 若x,y均为正数,且x?y?1,求(1?aa?t,y??t,2211)(1?)的最小值. xy

分析与解:由x?y?1,设: x?11?t,y??t,则 22

2811x?y?xy?12(1?)(1?)==1?=1?=1?2 11?4txyxyxy?t2

4

∵x?0,y?0 ∴?

值:1?8?9. 111?t? 当4t2?0时,即t?0时,此时x?y?,原式有最小222

x?yx?yx?y??x??a?????222五、和差代换法:对于任意的实数x,y,总有? ,若令?

?y?x?y?x?y?b?x?y

???22?2

?x?a?b则有:?,这种代换称为和差代换. y?a?b?

例6 已知实数a,b满足a2?ab?b2?1,且t?ab?a2?b2,那么t的取值范围是分析与解:设a?x?y,b?x?y,把它们代入a?ab?b?1 中,得:

2(x?y)?(x?y)(x?y)?(x?y)2?1 化简得: y2?1?3x2

2222因为: y?0,所以0?x?1 3

222(x?y)?(x?y)??(x?3y)??x?3(1?3x)?8x?3 ∴t?(x?y)(x?y)?

∵0?x?22222111822 ∴0?8x? ∴-3?8x?3?? 即:-3?t?? 3333

六、参数法:参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题.

例7 若x?1?

题) y?1z?2222?,则x?y?z可取的最小值为( )(2003年武汉选拔试23

599 C. D. 6 214

y?1z?2??k 则x?k?1,y?2k?1,z?3k?2 解:设x?1?23A. 3 B.

所以x?y?z?(k?1)?(2k?1)?(3k?2) 222222

5259)? 1414

559222∴当k??时 ∴x?y?z的值最小为,应选B 1414?14k2?10k?6?14(k?

七、整体设元法:就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联系的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入和求值等.

例8 已知a,b为实数,那么a?ab?b?a?2b的最小值是22

分析与解:本题要直接求出所求式子的值很困难,故可以采取整体设元,巧妙运用二元一次方程的根的判别式来解决,思路就显得非常简捷.

设a?ab?b?a?2b=t,将等式整理成关于a为主元的二次方程,得 22

a2?(b?1)a?(b2?2b?t)?0

∵a为实数 ∴??(b?1)2?4(b2?2b?t)?0

即4t?3b?6b?1 就是4t?3(b?1)2?4??4

∴t??1 ,当t??1时,有b?1,a?0.

故当a?0,b?1时, t有最小值,即代数式a?ab?b?a?2b有最小值是-1.

八、利用函数的性质:借助二次(一次)函数的增减性,并注意自变量的取值范围,可使问题迎刃而解.

2例9 已知a?0,b?0,c?0,且b2?4ac?b?2ac,求b?4ac的最小值.( 2004222

年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题)

分析与解:将已知等式两边平方得 b?4ac?(b?2ac)

整理可得: ac?acb?ac 又ac?0 ,得ac?b?1.

22故b?4ac=b?4(b?1)=(b?2) 222?22

此为关于b的二次函数,且开口向上,对称轴为b=2 ,又由于b?0,知当b?0时, b2?4ac取得最小值4.

多元极值问题的解法不仅是上述几种,还有其它的解法,在此就不一一说明了.在做题的过程中,要通过观察、分析、发掘,促使题目中的隐含条件显现出来,然后采用恰当的解法解答这类问题.

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