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初二暑假竞赛数学

发布时间:2014-06-22 14:27:47  

第一讲: 全等三角形判定

【知识点拨】

1、三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)。

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)。

3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)。

4、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)。

5、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边直角边”或“HL”)。

【高博学堂】

【例1】如图,△ABC中,?ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD?MN于D,BE?MN与E,

(1)当直线MN位于图①的位置时,试说明△ADC?△CBE,并写出DE、AD、BE的关系。

(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时,试探索DE、 AD 、BE的数量关系。

【巩固练习1.1】如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AC=AB,直线AN经过顶点A, BD ⊥AN于D,CE⊥AN于E

求证:DE=BD-CE

A

C BE N

【巩固练习1.2】

已知:如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ. 求证:HN=PM.

1

【例2】如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE

B E

【巩固练习2.1】

已知,如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为 BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,BF//AC交 CE的延长线于点F,求证:AB垂直平分DF.

D E B A

F

0BAC?90,AB?AC,D为AC的 RtABC【巩固练习2.2】如图△中,∠

点,AE?BD交BC于E,求?BDE=a,?ADB的大小。

2

【例3】如图,已知在四边形ABCD中,BC?AB,AD?DC,BD平分?ABC 求证:?A??C?180?

【巩固练习3.1】如图,?ABC中,AD是?A的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且?EDF??BAF?180?,求证:ED?FD

【巩固练习3.2】如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD。

求证:∠

BAP+∠BCP=180°

3

【例4】如图,已知:在?ABC中,?B?60?,?ABC的角平分线AD,CE交于O,求证:AE?CD?AC

【巩固练习4.1】如图①,在△ABC中,?ACB是直角,?B=60°,AD、CE分别是?BAC、?BCA的平分线AD、CE相交于点F ,请你判断并写出FE与FD之间的关系;

(2) 如图②,在△ABC中,如果?ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(1)中所得几轮是否依然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。

4

A.夯实基础

1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD= 4cm,则PE=______cm

C A D B

E

O

2、△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,且BD:CD=3:2,BC=15cm,则点D到AB的距离是__________.

3、如图P到BE、BD、AC的距离恰好都相等,则P的位置:(1)在 ∠B 的角平分线上;(2)在∠ DAC平分线上;(3)在∠ ECA

平分线上;(4)恰是 ∠B ∠ DAC

上述结论正确的有( A .1个 B.2个

C.3个 D.4个

4、如图,AD 是∠ABC,交AD的延长线于E,EF∥AC,交AB于F,则AF与BF的

大小关系是( )

A.AF>BF B.AF=BF C.AF<BF D.无法确定

B.能力拓展

5、如图,?ABC中,?BAC?90?,AD?BC,

BE平分∠ABC,EF?BC,FM?AC,

垂足分别是D,F,M,

求证:FM?FD

5

第二讲: 全等三角形性质

【知识点拨】

1、全等三角形对应的边角相等。

2、全等三角形的对应的边上的三线相等。

3、全等三角形对应的面积相等。

【高博学堂】

【例1】如图AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,F是CD 的中点,求证: AF⊥CD

A

BE

CF

【巩固练习1.1】

如图:在五边形ABCDE中 ∠B=∠E, ∠C= ∠D,BC=DE,M为CD的中点, 求证:AM ⊥CD

M

【巩固练习1.2】

如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD. 求证:AD平分∠BAC.

6

【例2】已知在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,BD=CE,DE交BC于F.求证:DF=EF.

【巩固练习2.1】在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C,求证:AB+BD=CD。

A

B DC

【巩固练习2.2】如图,△ABC中,D是BC 的中点,DE⊥DF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论。

C B

【例3】如图所示,已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.

求证:(1)AP=AQ;(2)AP⊥

AQ.

7

【巩固练习3.1】

已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.

【巩固练习3.2】

如图,在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM为等边三角形.

【例4】△ABC中,AB?5,AC?3,求中线AD的取值范围.

【巩固练习4.1】如图所示,在△ABC中,已知AD是?BAC的平分线,又是边BC上的中线,求证:AB?

AC.

8

【巩固练习4.2】求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

B.能力拓展

1、已知AC=AB,AE=AD, ∠1=∠2,问∠3=∠4吗?

A

E D

B C

2、已知:如图,在△MPN中,H 是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.

求证:HN=PM.

3、己知,△ABC中,AB=AC,CD⊥AB,垂足为D,P是BC上任一点,PE⊥AB,PF⊥AC垂足分别为E、F,

求证:① PE+PF=CD.② PE – P F=CD

A A

P C B P

4、已知如图,B是CE的中点,AD=BC,AB=DC,DE交AB于F点,求证:(1)AD∥BC;

(2)AF=BF.

9

5、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.?AEF?90,且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F,求证:AE=EF.

经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE?EF.

在此基础上,同学们作了进一步的研究:

(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;

(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

D D D F F

E C G E C G C E G 图1 图2 图3

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第三讲:等腰三角形

【知识点拨】

1、有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另一边叫做底,两腰的夹角叫做顶角,腰与底的夹角叫做底角。

2、等腰三角形的性质:

(1)两底角相等(简记“等边对等角”);

(2)底角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合(简记“三线合一”);

(3)等边三角形各边相等,各角都等于60°。

3、等腰三角形的判定:

(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等(简记“等角对等边”);

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

4、常作辅助线:

(1)等腰三角形底边上的高线;

(2)常利用三线合一构造等腰三角形;

5、解题技巧:常借方程求等腰三角形的角的度数。

【高博学堂】

【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数。

【巩固练习1.1】等腰三角形的一个角是40度,它的另外两个角的度数是多少呢?

【巩固练习1.2】等腰三角形的底边长为7cm,一腰上的中线把周长分为两部分,其差为3cm,则等腰三角形的腰长为多少?

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【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,F是AC上的点,在BA的延长线上取 EF交BC于点D。求证:EF⊥BC

【巩固练习2.1】如图,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD, AD=DE=BE,求∠A的度数。

C

D

BAE

【巩固练习2.2】如图:已知点D、E在△ABC的边上,且AB=AC,AD=AE

【例3】已知:AE是△ABCAE ∥ BC,求证:AB=AC

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【巩固练习3.1】已知在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延 交BC于F。求证:DF=EF 【巩固练习3.2】在△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于点O,且OB=OC,请说明AB=AC的理由。 C 【例4】如图,△ABC正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角∠MDN,角的两边分别交AB、AC边于M、N,连接MN。探究:BM、MN、NC长度之间的关系,并加以证明。

【巩固练习4.1】如图,△ABD、△AEC都是等边三角形,求证:BE=DC

D E

BC

13

【巩固练习4.2】如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,下列结论:①AD⊥BC;②AF⊥FD;③BE=BD。其中正确的有( )。

A.3个 B.2个

【例5】如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为 BC的中点.

(1)写出点D到△ABC三个顶点 A、B、C的距离的关系(不必证明)

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论

C

D

N B MA

【巩固练习5.1】在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C,求证:AB+BD=CD

A

B DC【巩固练习5.2】

在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC于M,

(1)如图(01)若∠A=40°,求:∠NMB 的大小;

(2)如图(02)如果将(1)中的∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的大小;

(3)你发现了什么规律?写出猜想,并证明;

(4)如图(03)如果将(1)中的角改为钝角,那么对这个问题规律性的认识是否需要修改? _ A

_N

_C_B_( 3) 0

AANNBCBC(01)M(02)M

14

B.能力拓展

1、如图,△ABC中,∠BAC=1100,E、G分别为AB、AC中点,DE⊥AB, FG⊥AC,求∠DAF。

2、如图,在△ABC中,AB= AC,D是CB延长线上一点,∠D=600,E是 AD上一点,且有DE=DB

求证:AE=BE+BC

3、如图所示,△ABC中,D、E分别是AC和AB上的一点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.

(1)上述四个条件中,哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有的情形)

(2)选择(1)小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形

4、如图,在等腰三角形ABC中,AB?AC,AD是BC边上的中线,?ABC 的平分线BG,交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.求证:EF?ED A

B 15

C.综合创新

5、已知:如图△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们交于点H, 且AE=BE,求证:AH=2BD

6、如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,F是CD的中点.

(1)AF与CD的位置关系是怎样的?并说出你的理由.

(2)连接BE,你还能得出什么新的结论?请写出3个(不要求说明理由)

B

C F

16

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